지수 편집하기

{{틀:수학 프로젝트}}
<big><big><big><math>2^2 = 4</math></big></big></big>
== 지수란? ==
지수란 어떤 수를 몇 번 곱할지 알려주는 숫자다. 쉽게 말해 <math>a^x</math>에서 <math>x</math>가 바로 지수. 이때 <math>a</math>는 '밑'이라고 부른다. 당연히 이런 걸 왜 배우나 싶겠지만 의외로 실생활에서 많이 쓰인다.
=== 기본 개념 ===

<math>a^x</math>는 "<math>a</math>의 <math>x</math>제곱" 또는 "<math>a</math>를 <math>x</math>번 곱한다"라고 읽는다.
예: <math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8</math> (2를 3번 곱함)
예: <math>5^2 = 5 \times 5 = 25</math> (5를 2번 곱함)

== 다양한 지수의 종류 ==
=== 자연수 지수 ===
자연수 지수는 가장 기본적인 형태의 지수다. 숫자를 그냥 여러 번 곱하면 끝. 초등학교 때부터 배웠던 그 개념이 맞다.

정의: <math>a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{번}}</math> (<math>a</math>를 <math>n</math>번 곱함)
예시:
** <math>3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81</math>
** <math>10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000</math>

=== 0 지수 ===
0 지수는 특별한 경우다. 아무리 생각해도 0번 곱한다는 게 말이 안 되는 것 같지만, 수학자들이 정한 약속이다.

정의: <math>a^0 = 1</math> (단, <math>a \neq 0</math>)
이유: 지수법칙에 따라 <math>a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0 = 1</math>이기 때문. 억지로 끼워 맞춘 것 같지만 이렇게 정의해야 지수법칙이 모든 경우에 통용된다.
예시: <math>7^0 = 1</math>, <math>100^0 = 1</math>

=== 음수 지수 ===
음수 지수는 양수 지수의 역수로 정의된다. 말 그대로 양수 지수의 반대 개념이라 생각하면 된다.

정의: <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math> (단, <math>a \neq 0</math>)
예시:
** <math>2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125</math>
** <math>10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01</math>

=== 유리수 지수 ===
유리수 지수는 제곱근과 자연수 지수의 조합으로 표현된다. 이쯤 되면 "왜 이런 걸 정의하나?"라는 의문이 들 수 있지만, 함수의 그래프를 부드럽게 연결하기 위해 필요하다.

정의: <math>a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}</math> (단, <math>a > 0</math> 일 때 항상 정의됨)
분수 지수의 의미:
** 분모 <math>m</math>은 "<math>m</math>제곱근"을 의미한다.
** 분자 <math>n</math>은 "그 제곱근의 <math>n</math>제곱"을 의미한다.
예시:
** <math>4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2</math>
** <math>8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4</math>
** <math>27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3</math>

=== 무리수 지수 ===
무리수 지수는 고등 과정을 넘어서는 개념이지만, 간단히 설명하자면:

정의: 무리수 지수는 유리수 지수의 극한으로 정의된다. 대학교 과정에서 배우는 내용이다.
예시: <math>2^{\sqrt{2}}</math>는 <math>\sqrt{2}</math>에 가까운 유리수 수열을 지수로 취한 값들의 극한이다.
중요한 무리수 지수: <math>e^x</math> (자연지수함수). 대학 수학에서 정말 많이 등장하는 녀석이다.

== 지수법칙 ==
지수를 계산할 때 유용한 몇 가지 법칙이 있다. 이걸 외워두면 계산이 엄청 편해진다.
곱셈 법칙: <math>a^m \times a^n = a^{m+n}</math>
#* 예: <math>2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128</math>
나눗셈 법칙: <math>a^m \div a^n = a^{m-n}</math> (단, <math>a \neq 0</math>)
#* 예: <math>3^5 \div 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27</math>
거듭제곱 법칙: <math>(a^m)^n = a^{m \times n}</math>
#* 예: <math>(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64</math>
밑이 같은 곱의 지수: <math>(a \times b)^n = a^n \times b^n</math>
#* 예: <math>(2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36</math>
밑이 같은 나눗셈의 지수: <math>\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}</math> (단, <math>b \neq 0</math>)
#* 예: <math>\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}</math>
== 실생활 응용 ==
지수는 다양한 실생활 상황에서 활용된다. "이런 걸 왜 배우나" 싶었던 학생들에게 희소식.
복리 계산: <math>P(1+r)^t</math> (원금 <math>P</math>, 이자율 <math>r</math>, 기간 <math>t</math>)
인구 증가: <math>P_0 \times e^{kt}</math> (초기 인구 <math>P_0</math>, 성장률 <math>k</math>, 시간 <math>t</math>)
방사성 붕괴: <math>N_0 \times e^{-\lambda t}</math> (초기량 <math>N_0</math>, 붕괴 상수 <math>\lambda</math>, 시간 <math>t</math>)
컴퓨터 용량 단위: 2의 거듭제곱 (2ⁿ 바이트)
#* 예: 2¹⁰ = 1024 바이트 = 1 킬로바이트(KB). 컴퓨터 사용자라면 익숙한 숫자일 것이다.