귀하는 로그인되어 있지 않습니다. 이대로 편집하면 귀하의 IP 주소가 편집 기록에 남게 됩니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!= 합성수 = '''Composite Number''' [[자연수]] 중에서 1보다 크고, 자기 자신과 1 이외의 [[약수]]를 가지는 수를 말한다. 쉽게 말해서 '''1도 아니고 [[소수]]도 아닌 자연수'''라고 생각하면 된다. 예를 들어 4, 6, 8, 9, 10, 12... 같은 수들이 모두 합성수다. == 개요 == 합성수는 말 그대로 여러 수가 '''합성'''되어 만들어진 수라는 의미다. 즉, 1보다 큰 자연수들을 곱해서 만들 수 있는 수를 의미한다. 예를 들어: * <math>4 = 2 \times 2</math> * <math>6 = 2 \times 3</math> * <math>8 = 2 \times 2 \times 2</math> * <math>9 = 3 \times 3</math> * <math>12 = 2 \times 2 \times 3</math> 이런 식으로 '''1이 아닌 자연수들의 곱'''으로 표현할 수 있다면 그 수는 합성수다. == 정의 == 자연수 <math>n > 1</math>에 대해, <math>1 < a < n</math>인 자연수 <math>a</math>가 존재하여 <math>n</math>을 나누어떨어뜨릴 수 있을 때, <math>n</math>을 '''합성수'''라고 한다. 다르게 표현하면, 약수가 3개 이상인 자연수라고 할 수 있다. 예를 들어 6의 약수는 1, 2, 3, 6으로 4개이므로 합성수다. == 특징 == === 소수와의 관계 === 1보다 큰 모든 [[자연수]]는 크게 세 가지로 분류된다: * '''1''': 특별한 수로 따로 취급한다. * '''[[소수]]''': 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수 (2, 3, 5, 7, 11, 13...) * '''합성수''': 1과 자기 자신 외에 다른 약수를 가지는 수 (4, 6, 8, 9, 10, 12...) 즉, 소수와 합성수는 서로 '''배타적'''인 관계다. 어떤 수가 소수면 합성수가 아니고, 합성수면 소수가 아니다. ~~당연한 얘기지만~~ === 소인수분해 === 모든 합성수는 [[소인수분해]]가 가능하다. 이것이 합성수의 가장 중요한 특징이다. [[산술의 기본 정리]]에 의하면, 1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 '''유일하게''' 표현할 수 있다. 합성수의 경우 이 소인수분해에서 '''2개 이상의 소인수'''가 나타난다. (같은 소수가 여러 번 곱해지는 경우도 포함) 예시: * <math>12 = 2^2 \times 3</math> * <math>18 = 2 \times 3^2</math> * <math>30 = 2 \times 3 \times 5</math> * <math>100 = 2^2 \times 5^2</math> === 개수 === 합성수는 '''무한히 많다'''. 이는 소수가 무한히 많다는 것보다 더 자명한데, 임의의 소수 <math>p</math>에 대해 <math>2p, 3p, 4p, \ldots</math>는 모두 합성수이기 때문이다. 재미있는 점은 합성수가 연속으로 나타나는 구간을 '''임의로 길게''' 만들 수 있다는 것이다. 예를 들어: * <math>n! + 2, n! + 3, n! + 4, \ldots, n! + n</math> 위의 <math>(n-1)</math>개의 수는 모두 합성수다.<ref><math>n! + k</math>는 <math>k</math>로 나누어떨어지기 때문이다.</ref> == 예시 == === 작은 합성수들 === 100 이하의 합성수는 다음과 같다: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100 총 '''74개'''다. 즉, 100 이하의 자연수 중 '''74%가 합성수'''다. 1을 제외하면 소수는 25개뿐이므로, 작은 수에서도 이미 합성수가 소수보다 훨씬 많다는 것을 알 수 있다. === 가장 작은 합성수 === 가장 작은 합성수는 '''4'''다. <math>4 = 2 \times 2</math>이므로 소인수분해가 가능하고, 약수가 1, 2, 4로 3개다. 2와 3은 소수이므로 합성수가 아니다. 1은 약수가 1개뿐이므로 소수도 합성수도 아니다. === 특수한 합성수들 === ==== 짝수 합성수 ==== 2를 제외한 모든 [[짝수]]는 합성수다. 2로 나누어떨어지기 때문이다. 따라서 4, 6, 8, 10, 12, ... 는 모두 합성수다. 가장 작은 합성수인 4도 짝수 합성수다. ==== 홀수 합성수 ==== 짝수가 아닌 합성수도 당연히 존재한다. 가장 작은 홀수 합성수는 '''9'''다. <math>9 = 3 \times 3</math>이므로 합성수다. 그 다음 홀수 합성수는 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, ... 순서다. ==== 고도 합성수 ==== [[고도 합성수]](Highly composite number)는 자기보다 작은 모든 양의 정수보다 '''약수를 많이''' 가지는 합성수를 말한다. 예시: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, ... 이들은 약수의 개수가 많아서 수학적으로나 실용적으로 유용하게 쓰인다. ~~60진법, 360도법 같은 게 괜히 생긴 게 아니다.~~ ==== 거의 소수 ==== [[거의 소수]](Semiprime)는 '''정확히 두 개의 소수의 곱'''으로 표현되는 합성수다. 예를 들어: * <math>4 = 2 \times 2</math> * <math>6 = 2 \times 3</math> * <math>9 = 3 \times 3</math> * <math>10 = 2 \times 5</math> * <math>14 = 2 \times 7</math> * <math>15 = 3 \times 5</math> [[RSA 암호]]에서 매우 큰 거의 소수를 사용한다. 큰 수를 소인수분해하는 것이 어렵다는 점을 이용한 것이다. == 관련 개념 == === 완전수 === [[완전수]]는 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신과 같은 수다. 예를 들어: * <math>6 = 1 + 2 + 3</math> * <math>28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14</math> 6은 합성수이면서 완전수다. 사실 '''알려진 모든 완전수는 합성수'''다. ~~1은 특별 취급되고 소수는 약수가 2개뿐이니까 당연하다.~~ === 과잉수와 부족수 === * [[과잉수]]: 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신보다 큰 수 * [[부족수]]: 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신보다 작은 수 대부분의 합성수는 부족수지만, 12, 18, 20 같은 수들은 과잉수다. == 여담 == * 수학자들은 1을 소수에도 합성수에도 포함시키지 않는다. 만약 1을 소수로 치면 [[산술의 기본 정리]]에서 '유일성'이 깨지기 때문이다. 예를 들어 <math>6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3 = \cdots</math> 이런 식으로 무한히 표현할 수 있게 된다. * [[골드바흐의 추측]]에 따르면 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현할 수 있다고 한다. 이것이 사실이라면 모든 짝수 합성수는 두 소수의 합이라는 뜻이 된다. ~~아직 증명은 안 됐지만~~ * [[소수 정리]]에 의하면 <math>n</math> 이하의 소수 개수는 대략 <math>\frac{n}{\ln n}</math>개다. 이는 <math>n</math>이 커질수록 소수의 '''밀도'''가 점점 줄어든다는 의미이고, 반대로 합성수의 밀도는 점점 늘어난다는 의미다. * 4는 <math>2^2</math>으로 표현되는 유일한 합성수인데, 2의 거듭제곱 중 합성수가 아닌 것은 2뿐이다. ~~2는 소수니까~~ * [[쌍둥이 소수]]처럼 차이가 2인 소수 쌍은 무한히 많을 것으로 '''추측'''되지만, 차이가 2인 합성수 쌍은 '''확실히 무한히 많다'''. <math>(6n-2)</math>와 <math>(6n)</math>은 항상 합성수이기 때문이다. == 관련 문서 == * [[소수]] * [[자연수]] * [[약수]] * [[소인수분해]] * [[산술의 기본 정리]] * [[고도 합성수]] * [[거의 소수]] * [[완전수]] * [[골드바흐의 추측]] == 분류 == [[분류:수론]] [[분류:정수]] [[분류:자연수]] [[분류:초등정수론]] 편집 요약 가온 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 라이선스로 배포된다는 점을 유의해 주세요(자세한 내용에 대해서는 가온 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 또한, 직접 작성했거나 퍼블릭 도메인과 같은 자유 문서에서 가져왔다는 것을 보증해야 합니다. 저작권이 있는 내용을 허가 없이 저장하지 마세요! 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림)