지수 편집하기 (부분)

== 다양한 지수의 종류 ==
=== 자연수 지수 ===
자연수 지수는 가장 기본적인 형태의 지수다. 숫자를 그냥 여러 번 곱하면 끝. 초등학교 때부터 배웠던 그 개념이 맞다.

정의: <math>a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{번}}</math> (<math>a</math>를 <math>n</math>번 곱함)
예시:
** <math>3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81</math>
** <math>10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000</math>

=== 0 지수 ===
0 지수는 특별한 경우다. 아무리 생각해도 0번 곱한다는 게 말이 안 되는 것 같지만, 수학자들이 정한 약속이다.

정의: <math>a^0 = 1</math> (단, <math>a \neq 0</math>)
이유: 지수법칙에 따라 <math>a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0 = 1</math>이기 때문. 억지로 끼워 맞춘 것 같지만 이렇게 정의해야 지수법칙이 모든 경우에 통용된다.
예시: <math>7^0 = 1</math>, <math>100^0 = 1</math>

=== 음수 지수 ===
음수 지수는 양수 지수의 역수로 정의된다. 말 그대로 양수 지수의 반대 개념이라 생각하면 된다.

정의: <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math> (단, <math>a \neq 0</math>)
예시:
** <math>2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125</math>
** <math>10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01</math>

=== 유리수 지수 ===
유리수 지수는 제곱근과 자연수 지수의 조합으로 표현된다. 이쯤 되면 "왜 이런 걸 정의하나?"라는 의문이 들 수 있지만, 함수의 그래프를 부드럽게 연결하기 위해 필요하다.

정의: <math>a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}</math> (단, <math>a > 0</math> 일 때 항상 정의됨)
분수 지수의 의미:
** 분모 <math>m</math>은 "<math>m</math>제곱근"을 의미한다.
** 분자 <math>n</math>은 "그 제곱근의 <math>n</math>제곱"을 의미한다.
예시:
** <math>4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2</math>
** <math>8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4</math>
** <math>27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3</math>

=== 무리수 지수 ===
무리수 지수는 고등 과정을 넘어서는 개념이지만, 간단히 설명하자면:

정의: 무리수 지수는 유리수 지수의 극한으로 정의된다. 대학교 과정에서 배우는 내용이다.
예시: <math>2^{\sqrt{2}}</math>는 <math>\sqrt{2}</math>에 가까운 유리수 수열을 지수로 취한 값들의 극한이다.
중요한 무리수 지수: <math>e^x</math> (자연지수함수). 대학 수학에서 정말 많이 등장하는 녀석이다.