미적분 편집하기 (부분)

== 미분 ==

=== 미분계수의 정의 ===
미분하는 것은 '''순간변화율'''을 구하는 것이다. 이는 [[중학교]]·고등학교에서 배우는 평균변화율의 극한으로 이해할 수 있다.

함수 <math>f(x)</math>의 구간 <math>[a, x]</math>에서의 평균변화율은 다음과 같다.
:<math>\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>

이는 좌표평면 위의 두 점 <math>(a,f(a))</math>, <math>(x,f(x))</math>를 잇는 직선(할선)의 기울기를 의미한다. 여기서 x를 a에 한없이 가깝게 보내면, 이 할선은 점점 점 <math>(a,f(a))</math>에서의 '''접선'''에 가까워진다. 이 극한값을 '''x=a에서의 미분계수'''라 하고, 함수 <math>f(x)</math>가 모든 점에서 미분계수를 가질 때 그 미분계수들을 모아놓은 함수를 도함수 <math>f'(x)</math>라 한다.

*<math>f'(a)=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>: 좌표가 각각 <math>(x,f(x))</math>, <math>(a,f(a))</math>인 두 점을 잇는 직선의 기울기의, x가 a로 다가갈 때의 극한값. 즉 <math>x=a</math>에서의 접선의 기울기라는 뜻이다.
*<math>f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>: <math>x=a+h</math>로 치환하면 <math>h=x-a</math>이므로 위 식에서 곧바로 유도되는 동치인 표현이다. h가 0에 한없이 가까워진다는 것은 x가 a에 한없이 가까워진다는 것과 같은 의미이다.

두 표기법은 완전히 같은 대상을 가리키지만, 실전 문제풀이에서는 상황에 따라 편한 쪽을 골라 쓰면 된다. 참고로 함수 <math>f(x)</math>가 <math>x=a</math>에서 미분가능하려면 반드시 그 점에서 '''연속'''이어야 한다(단, 역은 성립하지 않는다. 대표적인 반례가 <math>f(x)=|x|</math>로, <math>x=0</math>에서 연속이지만 미분은 불가능하다).

=== 도함수의 성질 ===
{| class="wikitable"
|- style="background-color:#ffff00;"
! 성질 ! 공식
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| 상수배 || <math>\{cf(x)\}'=cf'(x)</math>
|-
| 합의 미분 || <math>\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)</math>
|-
| 곱의 미분(곱셈법칙) || <math>\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math>
|-
| 몫의 미분(나눗셈법칙) || <math>\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}</math> (단, <math>g(x) \ne 0</math>)
|-
| 합성함수의 미분(연쇄법칙) || <math>\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)</math>
|}

곱셈법칙은 정의에 따라 <math>f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)</math> 사이에 <math>f(x+h)g(x)</math>를 더하고 빼는 트릭으로 증명할 수 있으며, 연쇄법칙은 라이프니츠 표기법을 빌리면 <math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}</math>처럼 마치 분수의 약분처럼 직관적으로 쓸 수 있어 매우 유용하다. 다만 엄밀한 증명에는 <math>\Delta u = 0</math>이 되는 경우를 별도로 처리해야 하는 등 주의가 필요하다.

=== 여러 가지 함수의 미분법 ===
f(x)를 x에 대해 미분할 때 기준.
{| class="wikitable"
|- style="background-color:#ffff00;"
! <math>f(x)</math> !! <math>f'(x)</math> !! 증명 및 비고
|-
| <math>c</math> (상수) || <math>0</math> || 상수함수는 변화가 없으므로 순간변화율도 항상 0이다.
|-
| <math>x^n</math> (n은 실수) || <math>nx^{n-1}</math> || 미분계수의 정의에 의해 <math>x^n</math>의 도함수는 <math>\lim_{x \to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}</math>이다. 인수분해 공식 <math>x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1})</math>을 이용하면 <math>(x-a)</math>가 약분되어 <math>\lim_{x \to a}(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+a^{n-1})</math>이 남는다. 이 식에서 x를 a로 보내면 <math>a^{n-1}</math>항이 n개가 되므로 <math>na^{n-1}</math>, 즉 <math>nx^{n-1}</math>을 얻는다. n이 자연수가 아닌 실수인 경우에도 로그미분법 등을 이용해 같은 결과를 얻을 수 있다.
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| <math>e^x</math> || <math>e^x</math> || 자연상수 e는 애초에 "미분해도 자기 자신이 되는 지수함수의 밑"으로 정의될 만큼 미적분과 떼려야 뗄 수 없는 상수이다.
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| <math>a^x</math> (a>0, a≠1) || <math>a^x \ln a</math> || <math>a^x=e^{x\ln a}</math>로 바꾸고 연쇄법칙을 적용하면 얻을 수 있다. 원 문서에 있던 <math>a^x \ln x</math>는 틀린 공식이므로 주의. 밑이 자연상수 e일 때는 <math>\ln e=1</math>이므로 <math>e^x</math> 그대로 남는다.
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| <math>\ln x</math> || <math>\frac{1}{x}</math> || <math>y=\ln x</math>이면 <math>e^y=x</math>이므로 양변을 x에 대해 음함수 미분하면 <math>e^y \frac{dy}{dx}=1</math>, 즉 <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}</math>이다.
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| <math>\log_a x</math> (a>0, a≠1) || <math>\frac{1}{x\ln a}</math> || 밑변환공식 <math>\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}</math>을 이용해 위 결과에서 바로 유도된다.
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| <math>\sin x</math> || <math>\cos x</math> || <math>\lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math>를 삼각함수의 덧셈정리로 전개하고, 극한 <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math>, <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h -1}{h}=0</math>을 이용하면 증명된다.
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| <math>\cos x</math> || <math>-\sin x</math> || <math>\sin x</math>의 증명과 같은 방식으로 유도되며, <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> 관계와 연쇄법칙을 이용해도 증명할 수 있다.
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| <math>\tan x</math> || <math>\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}</math> || <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math>이므로 몫의 미분법을 적용하면 얻을 수 있다.
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| <math>\cot x</math> || <math>-\csc^2 x</math> || <math>\tan x</math>와 마찬가지 방식으로 증명된다.
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| <math>\sec x</math> || <math>\sec x \tan x</math> || <math>\sec x = (\cos x)^{-1}</math>로 보고 연쇄법칙을 적용하면 얻을 수 있다.
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| <math>\csc x</math> || <math>-\csc x \cot x</math> || 위와 같은 방식으로 증명된다.
|}