미적분 편집하기 (부분)

=== 여러 가지 함수의 미분법 ===
f(x)를 x에 대해 미분할 때 기준.
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! <math>f(x)</math> !! <math>f'(x)</math> !! 증명 및 비고
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| <math>c</math> (상수) || <math>0</math> || 상수함수는 변화가 없으므로 순간변화율도 항상 0이다.
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| <math>x^n</math> (n은 실수) || <math>nx^{n-1}</math> || 미분계수의 정의에 의해 <math>x^n</math>의 도함수는 <math>\lim_{x \to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}</math>이다. 인수분해 공식 <math>x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1})</math>을 이용하면 <math>(x-a)</math>가 약분되어 <math>\lim_{x \to a}(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+a^{n-1})</math>이 남는다. 이 식에서 x를 a로 보내면 <math>a^{n-1}</math>항이 n개가 되므로 <math>na^{n-1}</math>, 즉 <math>nx^{n-1}</math>을 얻는다. n이 자연수가 아닌 실수인 경우에도 로그미분법 등을 이용해 같은 결과를 얻을 수 있다.
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| <math>e^x</math> || <math>e^x</math> || 자연상수 e는 애초에 "미분해도 자기 자신이 되는 지수함수의 밑"으로 정의될 만큼 미적분과 떼려야 뗄 수 없는 상수이다.
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| <math>a^x</math> (a>0, a≠1) || <math>a^x \ln a</math> || <math>a^x=e^{x\ln a}</math>로 바꾸고 연쇄법칙을 적용하면 얻을 수 있다. 원 문서에 있던 <math>a^x \ln x</math>는 틀린 공식이므로 주의. 밑이 자연상수 e일 때는 <math>\ln e=1</math>이므로 <math>e^x</math> 그대로 남는다.
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| <math>\ln x</math> || <math>\frac{1}{x}</math> || <math>y=\ln x</math>이면 <math>e^y=x</math>이므로 양변을 x에 대해 음함수 미분하면 <math>e^y \frac{dy}{dx}=1</math>, 즉 <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}</math>이다.
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| <math>\log_a x</math> (a>0, a≠1) || <math>\frac{1}{x\ln a}</math> || 밑변환공식 <math>\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}</math>을 이용해 위 결과에서 바로 유도된다.
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| <math>\sin x</math> || <math>\cos x</math> || <math>\lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math>를 삼각함수의 덧셈정리로 전개하고, 극한 <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math>, <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h -1}{h}=0</math>을 이용하면 증명된다.
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| <math>\cos x</math> || <math>-\sin x</math> || <math>\sin x</math>의 증명과 같은 방식으로 유도되며, <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> 관계와 연쇄법칙을 이용해도 증명할 수 있다.
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| <math>\tan x</math> || <math>\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}</math> || <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math>이므로 몫의 미분법을 적용하면 얻을 수 있다.
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| <math>\cot x</math> || <math>-\csc^2 x</math> || <math>\tan x</math>와 마찬가지 방식으로 증명된다.
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| <math>\sec x</math> || <math>\sec x \tan x</math> || <math>\sec x = (\cos x)^{-1}</math>로 보고 연쇄법칙을 적용하면 얻을 수 있다.
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| <math>\csc x</math> || <math>-\csc x \cot x</math> || 위와 같은 방식으로 증명된다.
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