미적분 편집하기 (부분)

== 적분 ==
미분이 순간변화율(기울기)을 구하는 것이라면, '''적분'''(積分)은 반대로 그 도함수로부터 원래 함수를 복원하거나, 곡선과 x축 사이의 넓이처럼 무한히 잘게 쪼갠 값을 다시 모두 더하는 연산이다. 즉 미분과 적분은 서로 역연산 관계에 있으며, 이 사실을 '''미적분학의 기본정리'''라고 한다.

=== 부정적분 ===
어떤 함수 <math>f(x)</math>를 미분해서 <math>F'(x)=f(x)</math>가 되는 함수 <math>F(x)</math>를 <math>f(x)</math>의 '''원시함수'''라 하고, 이를 구하는 것을 '''부정적분'''이라 하며 다음과 같이 나타낸다.
:<math>\int f(x)\,dx = F(x)+C</math>

여기서 C는 '''적분상수'''로, 상수를 미분하면 0이 되기 때문에 원시함수는 하나로 유일하게 정해지지 않고 상수 차이만큼 무한히 많이 존재한다. 이 적분상수 C를 빠뜨리는 것은 수능이나 내신에서 매우 흔한 실수 유형 중 하나이다.

=== 정적분 ===
'''정적분'''은 함수 <math>f(x)</math>와 x축, 그리고 두 직선 <math>x=a</math>, <math>x=b</math> 사이의 (부호 있는) 넓이를 구하는 연산으로, 구간 <math>[a,b]</math>를 n등분한 뒤 각 조각을 직사각형으로 근사하여 그 넓이의 합의 극한을 취하는 '''리만 합'''(Riemann sum)으로 정의된다.
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x</math>

부정적분과 달리 정적분의 결과값은 함수가 아니라 하나의 '''실수'''라는 점이 가장 큰 차이이다.

=== 미적분학의 기본정리 ===
함수 <math>f(x)</math>가 구간에서 연속이고 <math>F(x)</math>가 <math>f(x)</math>의 한 원시함수일 때, 다음이 성립한다.
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)</math>

이 정리 덕분에 복잡한 리만 합의 극한을 직접 계산하지 않고도, 부정적분(원시함수)만 구하면 정적분 값을 손쉽게 계산할 수 있게 된다. 뉴턴과 라이프니츠가 독립적으로 이 정리에 도달했다는 사실이야말로 두 사람을 미적분의 공동 발견자로 부르는 핵심적인 이유이다.