순환소수 편집하기

{{틀:수학 프로젝트}}

0.<math>\dot{6}</math>936<math>\dot{5}</math> = 0.6936569365\ldots

== 정의 및 개요 ==
'''순환소수'''(循環小數, recurring decimal)는 소숫점 아래 자릿수 중 하나 이상의 숫자가 일정한 주기로 반복되는 소수를 말한다. 일반적으로는 다음과 같이 표현된다.

* 예시:  
** <math>0.\dot{3} = 0.333\ldots</math>  
** <math>0.\dot{1}\dot{6} = 0.161616\ldots</math>  
** <math>2.\dot{1}73\dot{8} = 2.17383838\ldots</math>

순환되는 숫자들을 '''순환마디'''라 하며, 이들은 보통 점(<math>\dot{}</math>)이나 괄호로 표시된다. 예를 들어, <math>0.(142857)</math>은 <math>0.142857142857\ldots</math>처럼 6자리 순환마디를 갖는 순환소수이다.

== 순환소수와 수 체계 ==
모든 순환소수는 유리수이다. 즉, 어떤 두 정수의 분수 <math>\frac{a}{b}</math>(단, <math>b \ne 0</math>) 형태로 표현할 수 있다. 

반면, '''무리수'''는 순환하지 않는 소수이며, 순환소수를 포함하지 않는다. 무리수의 대표적인 예는 다음과 같다:

* <math>\pi = 3.1415926535\ldots</math> (순환하지 않음)
* <math>\sqrt{2} = 1.41421356\ldots</math>

따라서, 실수(real number)는 다음과 같이 분류할 수 있다:

* 유리수
** 정수
** 유한소수
** 순환소수
* 무리수
** 비순환 무한소수

== 분수 → 순환소수 변환 ==
유리수는 항상 순환소수나 유한소수로 표현된다. 

# 단순히 분자에서 분모를 나누는 방식으로 소숫점 아래 값을 계산한다.
# 나눗셈을 지속하다 보면 나머지가 반복되며, 이때부터 순환마디가 생긴다.

=== 예시 ===
* <math>\frac{1}{3} = 0.333\ldots = 0.\dot{3}</math>
* <math>\frac{2}{11} = 0.181818\ldots = 0.\dot{1}\dot{8}</math>
* <math>\frac{1}{7} = 0.142857142857\ldots = 0.\overline{142857}</math>

== 순환소수 → 분수 변환 ==
순환소수를 분수로 바꾸는 공식은 다음과 같다.

=== 소수점 첫째 자리부터 순환 ===
예:  <math>x = 0.\dot{5}\dot{2} = 0.525252\ldots</math>

# 순환되는 자리 수가 2개이므로, <math>99</math>를 분모로 삼는다.
# 순환되는 숫자 <math>52</math>를 분자로 삼는다.
# 결과: <math>\frac{52}{99}</math>

=== 소수점 아래 n번째 자리부터 순환 ===
예: <math>0.6\dot{5}\dot{2}</math>

# 순환 전 자리 수는 1자리(6), 순환 마디는 2자리(52)
# 분모는 <math>990</math> (9 두 개 + 0 하나)
# 분자는 전체 수 <math>652</math> - 순환하지 않는 수 <math>6</math> = <math>646</math>
# 결과: <math>\frac{646}{990}</math>

=== 정수 부분이 있는 경우 ===
예: <math>1.2\dot{5}</math>

# 전체 수는 <math>125</math> (1.25 기준)
# 순환 전 수는 <math>12</math> (1.2 기준)
# 분자는 <math>125 - 12 = 113</math>, 분모는 <math>90</math>
# 결과: <math>\frac{113}{90}</math>

== 수학적 배경 ==
유리수 <math>\frac{a}{b}</math>를 10진수로 나타낼 때, 순환이 발생하는 이유는 유한한 나머지 개수 때문이다. 나눗셈 도중 등장할 수 있는 나머지는 최대 <math>(b - 1)</math>개이므로, 언젠가는 동일한 나머지가 반복된다. 이로 인해 순환소수 형태가 나타난다.

또한, 다음과 같은 성질도 있다:
* 어떤 정수 <math>a</math>를 <math>b</math>로 나눌 때, <math>b</math>가 <math>2</math> 또는 <math>5</math>로만 이루어진 경우 유한소수가 된다.
* 그 외에는 반드시 순환소수가 된다.

예: 
* <math>\frac{1}{8} = 0.125</math> (분모가 <math>2^3</math>) → 유한소수
* <math>\frac{1}{6} = 0.1\dot{6}</math> (분모가 <math>2</math>와 <math>3</math>) → 순환소수

== 실생활에서의 응용 ==
* 금융: 소수점 이하 금액이 순환하는 경우(이자율 계산 등)
* 공학: 반복되는 파형 신호 표현 (디지털 신호 처리)
* 프로그래밍: 부동소수점 오차 처리 시 순환 여부 판단

== 관련 개념 ==
* '''유한소수''': 순환 없이 끝나는 소수. 예: <math>0.25</math>
* '''무한소수''': 끝없이 이어지며, 순환 여부에 따라 유리수 또는 무리수로 분류됨
* '''순환마디''': 반복되는 숫자 그룹

== 자주 나오는 질문 ==
* 무리수는 순환하지 않는 무한소수이며, 순환소수는 반드시 유리수이다.
* 순환소수는 꼭 반복기호(<math>\dot{}</math>)로 써야 하는건 아니며, 일반적으로는 점이나 괄호로 표기하지만, 명확하게 반복을 표시하기 위함이며, 문제의 문맥에 따라 다를 수 있다.

== 각주 ==
<references />