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= 합성수 =
'''Composite Number'''

[[자연수]] 중에서 1보다 크고, 자기 자신과 1 이외의 [[약수]]를 가지는 수를 말한다.

쉽게 말해서 '''1도 아니고 [[소수]]도 아닌 자연수'''라고 생각하면 된다. 예를 들어 4, 6, 8, 9, 10, 12... 같은 수들이 모두 합성수다.

== 개요 ==
합성수는 말 그대로 여러 수가 '''합성'''되어 만들어진 수라는 의미다. 즉, 1보다 큰 자연수들을 곱해서 만들 수 있는 수를 의미한다.

예를 들어:
* <math>4 = 2 \times 2</math>
* <math>6 = 2 \times 3</math>
* <math>8 = 2 \times 2 \times 2</math>
* <math>9 = 3 \times 3</math>
* <math>12 = 2 \times 2 \times 3</math>

이런 식으로 '''1이 아닌 자연수들의 곱'''으로 표현할 수 있다면 그 수는 합성수다.

== 정의 ==
자연수 <math>n > 1</math>에 대해, <math>1 < a < n</math>인 자연수 <math>a</math>가 존재하여 <math>n</math>을 나누어떨어뜨릴 수 있을 때, <math>n</math>을 '''합성수'''라고 한다.

다르게 표현하면, 약수가 3개 이상인 자연수라고 할 수 있다. 예를 들어 6의 약수는 1, 2, 3, 6으로 4개이므로 합성수다.

== 특징 ==

=== 소수와의 관계 ===
1보다 큰 모든 [[자연수]]는 크게 세 가지로 분류된다:
* '''1''': 특별한 수로 따로 취급한다.
* '''[[소수]]''': 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수 (2, 3, 5, 7, 11, 13...)
* '''합성수''': 1과 자기 자신 외에 다른 약수를 가지는 수 (4, 6, 8, 9, 10, 12...)

즉, 소수와 합성수는 서로 '''배타적'''인 관계다. 어떤 수가 소수면 합성수가 아니고, 합성수면 소수가 아니다. ~~당연한 얘기지만~~

=== 소인수분해 ===
모든 합성수는 [[소인수분해]]가 가능하다. 이것이 합성수의 가장 중요한 특징이다.

[[산술의 기본 정리]]에 의하면, 1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 '''유일하게''' 표현할 수 있다. 합성수의 경우 이 소인수분해에서 '''2개 이상의 소인수'''가 나타난다. (같은 소수가 여러 번 곱해지는 경우도 포함)

예시:
* <math>12 = 2^2 \times 3</math>
* <math>18 = 2 \times 3^2</math>
* <math>30 = 2 \times 3 \times 5</math>
* <math>100 = 2^2 \times 5^2</math>

=== 개수 ===
합성수는 '''무한히 많다'''. 이는 소수가 무한히 많다는 것보다 더 자명한데, 임의의 소수 <math>p</math>에 대해 <math>2p, 3p, 4p, \ldots</math>는 모두 합성수이기 때문이다.

재미있는 점은 합성수가 연속으로 나타나는 구간을 '''임의로 길게''' 만들 수 있다는 것이다. 예를 들어:
* <math>n! + 2, n! + 3, n! + 4, \ldots, n! + n</math>

위의 <math>(n-1)</math>개의 수는 모두 합성수다.<ref><math>n! + k</math>는 <math>k</math>로 나누어떨어지기 때문이다.</ref>

== 예시 ==

=== 작은 합성수들 ===
100 이하의 합성수는 다음과 같다:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100

총 '''74개'''다. 즉, 100 이하의 자연수 중 '''74%가 합성수'''다. 1을 제외하면 소수는 25개뿐이므로, 작은 수에서도 이미 합성수가 소수보다 훨씬 많다는 것을 알 수 있다.

=== 가장 작은 합성수 ===
가장 작은 합성수는 '''4'''다. <math>4 = 2 \times 2</math>이므로 소인수분해가 가능하고, 약수가 1, 2, 4로 3개다.

2와 3은 소수이므로 합성수가 아니다. 1은 약수가 1개뿐이므로 소수도 합성수도 아니다.

=== 특수한 합성수들 ===

==== 짝수 합성수 ====
2를 제외한 모든 [[짝수]]는 합성수다. 2로 나누어떨어지기 때문이다. 따라서 4, 6, 8, 10, 12, ... 는 모두 합성수다.

가장 작은 합성수인 4도 짝수 합성수다.

==== 홀수 합성수 ====
짝수가 아닌 합성수도 당연히 존재한다. 가장 작은 홀수 합성수는 '''9'''다. <math>9 = 3 \times 3</math>이므로 합성수다.

그 다음 홀수 합성수는 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, ... 순서다.

==== 고도 합성수 ====
[[고도 합성수]](Highly composite number)는 자기보다 작은 모든 양의 정수보다 '''약수를 많이''' 가지는 합성수를 말한다.

예시: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, ...

이들은 약수의 개수가 많아서 수학적으로나 실용적으로 유용하게 쓰인다. ~~60진법, 360도법 같은 게 괜히 생긴 게 아니다.~~

==== 거의 소수 ====
[[거의 소수]](Semiprime)는 '''정확히 두 개의 소수의 곱'''으로 표현되는 합성수다. 예를 들어:
* <math>4 = 2 \times 2</math>
* <math>6 = 2 \times 3</math>
* <math>9 = 3 \times 3</math>
* <math>10 = 2 \times 5</math>
* <math>14 = 2 \times 7</math>
* <math>15 = 3 \times 5</math>

[[RSA 암호]]에서 매우 큰 거의 소수를 사용한다. 큰 수를 소인수분해하는 것이 어렵다는 점을 이용한 것이다.

== 관련 개념 ==

=== 완전수 ===
[[완전수]]는 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신과 같은 수다. 예를 들어:
* <math>6 = 1 + 2 + 3</math>
* <math>28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14</math>

6은 합성수이면서 완전수다. 사실 '''알려진 모든 완전수는 합성수'''다. ~~1은 특별 취급되고 소수는 약수가 2개뿐이니까 당연하다.~~

=== 과잉수와 부족수 ===
* [[과잉수]]: 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신보다 큰 수
* [[부족수]]: 자기 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신보다 작은 수

대부분의 합성수는 부족수지만, 12, 18, 20 같은 수들은 과잉수다.

== 여담 ==
* 수학자들은 1을 소수에도 합성수에도 포함시키지 않는다. 만약 1을 소수로 치면 [[산술의 기본 정리]]에서 '유일성'이 깨지기 때문이다. 예를 들어 <math>6 = 2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3 = \cdots</math> 이런 식으로 무한히 표현할 수 있게 된다.

* [[골드바흐의 추측]]에 따르면 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현할 수 있다고 한다. 이것이 사실이라면 모든 짝수 합성수는 두 소수의 합이라는 뜻이 된다. ~~아직 증명은 안 됐지만~~

* [[소수 정리]]에 의하면 <math>n</math> 이하의 소수 개수는 대략 <math>\frac{n}{\ln n}</math>개다. 이는 <math>n</math>이 커질수록 소수의 '''밀도'''가 점점 줄어든다는 의미이고, 반대로 합성수의 밀도는 점점 늘어난다는 의미다.

* 4는 <math>2^2</math>으로 표현되는 유일한 합성수인데, 2의 거듭제곱 중 합성수가 아닌 것은 2뿐이다. ~~2는 소수니까~~

* [[쌍둥이 소수]]처럼 차이가 2인 소수 쌍은 무한히 많을 것으로 '''추측'''되지만, 차이가 2인 합성수 쌍은 '''확실히 무한히 많다'''. <math>(6n-2)</math>와 <math>(6n)</math>은 항상 합성수이기 때문이다.

== 관련 문서 ==
* [[소수]]
* [[자연수]]
* [[약수]]
* [[소인수분해]]
* [[산술의 기본 정리]]
* [[고도 합성수]]
* [[거의 소수]]
* [[완전수]]
* [[골드바흐의 추측]]

== 분류 ==
[[분류:수론]]
[[분류:정수]]
[[분류:자연수]]
[[분류:초등정수론]]

합성수 - 편집 역사

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