순환소수

이 문서는 가온 위키의 수학 프로젝트에 포함되는 문서입니다. 자세한 내용은 해당 프로젝트에 방문하시길 바랍니다.

0.[math]\displaystyle{ \dot{6} }[/math]936[math]\displaystyle{ \dot{5} }[/math] = 0.6936569365\ldots

정의 및 개요

순환소수(循環小數, recurring decimal)는 소숫점 아래 자릿수 중 하나 이상의 숫자가 일정한 주기로 반복되는 소수를 말한다. 일반적으로는 다음과 같이 표현된다.

• 예시:
  • [math]\displaystyle{ 0.\dot{3} = 0.333\ldots }[/math]
  • [math]\displaystyle{ 0.\dot{1}\dot{6} = 0.161616\ldots }[/math]
  • [math]\displaystyle{ 2.\dot{1}73\dot{8} = 2.17383838\ldots }[/math]

순환되는 숫자들을 순환마디라 하며, 이들은 보통 점([math]\displaystyle{ \dot{} }[/math])이나 괄호로 표시된다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ 0.(142857) }[/math]은 [math]\displaystyle{ 0.142857142857\ldots }[/math]처럼 6자리 순환마디를 갖는 순환소수이다.

순환소수와 수 체계

모든 순환소수는 유리수이다. 즉, 어떤 두 정수의 분수 [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math](단, [math]\displaystyle{ b \ne 0 }[/math]) 형태로 표현할 수 있다.

반면, 무리수는 순환하지 않는 소수이며, 순환소수를 포함하지 않는다. 무리수의 대표적인 예는 다음과 같다:

• [math]\displaystyle{ \pi = 3.1415926535\ldots }[/math] (순환하지 않음)
• [math]\displaystyle{ \sqrt{2} = 1.41421356\ldots }[/math]

따라서, 실수(real number)는 다음과 같이 분류할 수 있다:

• 유리수
  • 정수
  • 유한소수
  • 순환소수
• 무리수
  • 비순환 무한소수

분수 → 순환소수 변환

유리수는 항상 순환소수나 유한소수로 표현된다.

1. 단순히 분자에서 분모를 나누는 방식으로 소숫점 아래 값을 계산한다.
2. 나눗셈을 지속하다 보면 나머지가 반복되며, 이때부터 순환마디가 생긴다.

예시

• [math]\displaystyle{ \frac{1}{3} = 0.333\ldots = 0.\dot{3} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \frac{2}{11} = 0.181818\ldots = 0.\dot{1}\dot{8} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{7} = 0.142857142857\ldots = 0.\overline{142857} }[/math]

순환소수 → 분수 변환

순환소수를 분수로 바꾸는 공식은 다음과 같다.

소수점 첫째 자리부터 순환

예: [math]\displaystyle{ x = 0.\dot{5}\dot{2} = 0.525252\ldots }[/math]

1. 순환되는 자리 수가 2개이므로, [math]\displaystyle{ 99 }[/math]를 분모로 삼는다.
2. 순환되는 숫자 [math]\displaystyle{ 52 }[/math]를 분자로 삼는다.
3. 결과: [math]\displaystyle{ \frac{52}{99} }[/math]

소수점 아래 n번째 자리부터 순환

예: [math]\displaystyle{ 0.6\dot{5}\dot{2} }[/math]

1. 순환 전 자리 수는 1자리(6), 순환 마디는 2자리(52)
2. 분모는 [math]\displaystyle{ 990 }[/math] (9 두 개 + 0 하나)
3. 분자는 전체 수 [math]\displaystyle{ 652 }[/math] - 순환하지 않는 수 [math]\displaystyle{ 6 }[/math] = [math]\displaystyle{ 646 }[/math]
4. 결과: [math]\displaystyle{ \frac{646}{990} }[/math]

정수 부분이 있는 경우

예: [math]\displaystyle{ 1.2\dot{5} }[/math]

1. 전체 수는 [math]\displaystyle{ 125 }[/math] (1.25 기준)
2. 순환 전 수는 [math]\displaystyle{ 12 }[/math] (1.2 기준)
3. 분자는 [math]\displaystyle{ 125 - 12 = 113 }[/math], 분모는 [math]\displaystyle{ 90 }[/math]
4. 결과: [math]\displaystyle{ \frac{113}{90} }[/math]

수학적 배경

유리수 [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math]를 10진수로 나타낼 때, 순환이 발생하는 이유는 유한한 나머지 개수 때문이다. 나눗셈 도중 등장할 수 있는 나머지는 최대 [math]\displaystyle{ (b - 1) }[/math]개이므로, 언젠가는 동일한 나머지가 반복된다. 이로 인해 순환소수 형태가 나타난다.

또한, 다음과 같은 성질도 있다:

• 어떤 정수 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 [math]\displaystyle{ b }[/math]로 나눌 때, [math]\displaystyle{ b }[/math]가 [math]\displaystyle{ 2 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ 5 }[/math]로만 이루어진 경우 유한소수가 된다.
• 그 외에는 반드시 순환소수가 된다.

예:

• [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} = 0.125 }[/math] (분모가 [math]\displaystyle{ 2^3 }[/math]) → 유한소수
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{6} = 0.1\dot{6} }[/math] (분모가 [math]\displaystyle{ 2 }[/math]와 [math]\displaystyle{ 3 }[/math]) → 순환소수

실생활에서의 응용

• 금융: 소수점 이하 금액이 순환하는 경우(이자율 계산 등)
• 공학: 반복되는 파형 신호 표현 (디지털 신호 처리)
• 프로그래밍: 부동소수점 오차 처리 시 순환 여부 판단

관련 개념

• 유한소수: 순환 없이 끝나는 소수. 예: [math]\displaystyle{ 0.25 }[/math]
• 무한소수: 끝없이 이어지며, 순환 여부에 따라 유리수 또는 무리수로 분류됨
• 순환마디: 반복되는 숫자 그룹

자주 나오는 질문

• 무리수는 순환하지 않는 무한소수이며, 순환소수는 반드시 유리수이다.
• 순환소수는 꼭 반복기호([math]\displaystyle{ \dot{} }[/math])로 써야 하는건 아니며, 일반적으로는 점이나 괄호로 표기하지만, 명확하게 반복을 표시하기 위함이며, 문제의 문맥에 따라 다를 수 있다.