지수

이 문서는 가온 위키의 수학 프로젝트에 포함되는 문서입니다. 자세한 내용은 해당 프로젝트에 방문하시길 바랍니다.

[math]\displaystyle{ 2^2 = 4 }[/math]

지수란?

지수란 어떤 수를 몇 번 곱할지 알려주는 숫자다. 쉽게 말해 [math]\displaystyle{ a^x }[/math]에서 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 바로 지수. 이때 [math]\displaystyle{ a }[/math]는 '밑'이라고 부른다. 당연히 이런 걸 왜 배우나 싶겠지만 의외로 실생활에서 많이 쓰인다.

기본 개념

[math]\displaystyle{ a^x }[/math]는 "[math]\displaystyle{ a }[/math]의 [math]\displaystyle{ x }[/math]제곱" 또는 "[math]\displaystyle{ a }[/math]를 [math]\displaystyle{ x }[/math]번 곱한다"라고 읽는다. 예: [math]\displaystyle{ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 }[/math] (2를 3번 곱함) 예: [math]\displaystyle{ 5^2 = 5 \times 5 = 25 }[/math] (5를 2번 곱함)

다양한 지수의 종류

자연수 지수

자연수 지수는 가장 기본적인 형태의 지수다. 숫자를 그냥 여러 번 곱하면 끝. 초등학교 때부터 배웠던 그 개념이 맞다.

정의: [math]\displaystyle{ a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{번}} }[/math] ([math]\displaystyle{ a }[/math]를 [math]\displaystyle{ n }[/math]번 곱함) 예시:

• • [math]\displaystyle{ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 }[/math]

0 지수

0 지수는 특별한 경우다. 아무리 생각해도 0번 곱한다는 게 말이 안 되는 것 같지만, 수학자들이 정한 약속이다.

정의: [math]\displaystyle{ a^0 = 1 }[/math] (단, [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math]) 이유: 지수법칙에 따라 [math]\displaystyle{ a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0 = 1 }[/math]이기 때문. 억지로 끼워 맞춘 것 같지만 이렇게 정의해야 지수법칙이 모든 경우에 통용된다. 예시: [math]\displaystyle{ 7^0 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 100^0 = 1 }[/math]

음수 지수

음수 지수는 양수 지수의 역수로 정의된다. 말 그대로 양수 지수의 반대 개념이라 생각하면 된다.

정의: [math]\displaystyle{ a^{-n} = \frac{1}{a^n} }[/math] (단, [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math]) 예시:

• • [math]\displaystyle{ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 }[/math]

유리수 지수

유리수 지수는 제곱근과 자연수 지수의 조합으로 표현된다. 이쯤 되면 "왜 이런 걸 정의하나?"라는 의문이 들 수 있지만, 함수의 그래프를 부드럽게 연결하기 위해 필요하다.

정의: [math]\displaystyle{ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} }[/math] (단, [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math] 일 때 항상 정의됨) 분수 지수의 의미:

• • 분모 [math]\displaystyle{ m }[/math]은 "[math]\displaystyle{ m }[/math]제곱근"을 의미한다.
  • 분자 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 "그 제곱근의 [math]\displaystyle{ n }[/math]제곱"을 의미한다.

예시:

• • [math]\displaystyle{ 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3 }[/math]

무리수 지수

무리수 지수는 고등 과정을 넘어서는 개념이지만, 간단히 설명하자면:

정의: 무리수 지수는 유리수 지수의 극한으로 정의된다. 대학교 과정에서 배우는 내용이다. 예시: [math]\displaystyle{ 2^{\sqrt{2}} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]에 가까운 유리수 수열을 지수로 취한 값들의 극한이다. 중요한 무리수 지수: [math]\displaystyle{ e^x }[/math] (자연지수함수). 대학 수학에서 정말 많이 등장하는 녀석이다.

지수법칙

지수를 계산할 때 유용한 몇 가지 법칙이 있다. 이걸 외워두면 계산이 엄청 편해진다. 곱셈 법칙: [math]\displaystyle{ a^m \times a^n = a^{m+n} }[/math]

1. • 예: [math]\displaystyle{ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 }[/math]

나눗셈 법칙: [math]\displaystyle{ a^m \div a^n = a^{m-n} }[/math] (단, [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math])

1. • 예: [math]\displaystyle{ 3^5 \div 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27 }[/math]

거듭제곱 법칙: [math]\displaystyle{ (a^m)^n = a^{m \times n} }[/math]

1. • 예: [math]\displaystyle{ (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 }[/math]

밑이 같은 곱의 지수: [math]\displaystyle{ (a \times b)^n = a^n \times b^n }[/math]

1. • 예: [math]\displaystyle{ (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 }[/math]

밑이 같은 나눗셈의 지수: [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} }[/math] (단, [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math])

1. • 예: [math]\displaystyle{ \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125} }[/math]

실생활 응용

지수는 다양한 실생활 상황에서 활용된다. "이런 걸 왜 배우나" 싶었던 학생들에게 희소식. 복리 계산: [math]\displaystyle{ P(1+r)^t }[/math] (원금 [math]\displaystyle{ P }[/math], 이자율 [math]\displaystyle{ r }[/math], 기간 [math]\displaystyle{ t }[/math]) 인구 증가: [math]\displaystyle{ P_0 \times e^{kt} }[/math] (초기 인구 [math]\displaystyle{ P_0 }[/math], 성장률 [math]\displaystyle{ k }[/math], 시간 [math]\displaystyle{ t }[/math]) 방사성 붕괴: [math]\displaystyle{ N_0 \times e^{-\lambda t} }[/math] (초기량 [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], 붕괴 상수 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], 시간 [math]\displaystyle{ t }[/math]) 컴퓨터 용량 단위: 2의 거듭제곱 (2ⁿ 바이트)

1. • 예: 2¹⁰ = 1024 바이트 = 1 킬로바이트(KB). 컴퓨터 사용자라면 익숙한 숫자일 것이다.