SeanSentIGPC (토론 / 기여) 새 문서: __toc__ =개요= 미적분은 미분적분의 줄임말로, 수학에서 변화를 구하는 것과 관련된 부분을 일컫는다. =상세= <math>f(x)</math>를 x에 대해 미분하면 <math>f'(x)</math>로 나타내며, <math>f(x)</math>를 x에 대해 n번 미분한 함수는 <math>f^{(n)}(x)</math>로 나타낸다. 그러나 이런 표기법은 고등학교에서 배우지 않는다. 또한 y를 x에 대해 미분한 함수는 <math>\frac{dy}{dx}</math>라고 표기하... |
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=개요= | == 개요 == | ||
'''미적분'''(微積分)은 '''미분'''(微分)과 '''적분'''(積分)을 아울러 이르는 말로, 수학에서 [[함수]]의 순간적인 변화율과 누적된 변화량을 다루는 분야를 일컫는다. 영어로는 각각 '''differentiation'''(미분)과 '''integration'''(적분)이라 하며, 이 둘을 통틀어 '''calculus'''라고 부른다. | |||
미적분은 [[고등학교]] 수학 교육과정에서 문과와 이과를 막론하고 가장 많은 학생들이 어려워하는 단원 중 하나로 악명이 높다. 그러나 정작 그 핵심 아이디어는 "아주 작은 변화를 무한히 쪼개서 살펴본다"는 것 하나뿐이며, 이 아이디어 하나가 물리학, 공학, 경제학, 통계학 등 사실상 모든 자연과학·사회과학 분야의 기초를 이루고 있다. | |||
== 역사 == | |||
= | 미적분의 발견자는 흔히 [[아이작 뉴턴]]과 [[고트프리트 라이프니츠]] 두 사람으로 알려져 있다. 두 사람은 거의 비슷한 시기(17세기 후반)에 독립적으로 미적분학의 체계를 완성했는데, 이 때문에 둘 사이에는 누가 먼저 미적분을 발견했는지를 둘러싼 오랜 우선권 분쟁이 있었다. 결과적으로 오늘날에는 두 사람 모두 미적분의 공동 발견자로 인정받고 있으며, 현재 널리 쓰이는 <math>\frac{dy}{dx}</math> 같은 표기법은 라이프니츠가 고안한 것이다. | ||
물론 미적분의 아이디어 자체는 이 두 사람 이전에도 존재했다. 고대 그리스의 [[아르키메데스]]는 '''실진법'''(exhaustion method)을 이용해 원의 넓이나 포물선 아래의 넓이를 구했는데, 이는 오늘날의 적분과 본질적으로 같은 발상이다. 이후 17세기에 [[페르마]], [[카발리에리]] 등이 접선의 기울기를 구하는 방법이나 무한소를 이용한 넓이 계산법을 연구하면서 미적분학의 토대가 마련되었다. | |||
=여러 가지 미분법= | == 상세 == | ||
<math>f(x)</math>를 x에 대해 미분하면 <math>f'(x)</math>로 나타내며, <math>f(x)</math>를 x에 대해 n번 미분한 함수는 <math>f^{(n)}(x)</math>로 나타낸다. 이를 '''라그랑주 표기법'''이라 하는데, 정작 고등학교 교육과정에서는 <math>f^{(n)}(x)</math> 표기를 잘 다루지 않는다. | |||
또한 y를 x에 대해 미분한 함수는 <math>\frac{dy}{dx}</math>라고 표기하는데, 이를 '''라이프니츠 표기법'''이라 한다. 라이프니츠 표기법은 [[연쇄법칙]]을 다룰 때 마치 분수처럼 약분되는 듯한 직관을 주기 때문에 매우 유용하게 쓰인다. | |||
이 밖에도 뉴턴이 고안한 <math>\dot{y}</math> 같은 '''뉴턴 표기법'''(주로 시간에 대한 미분, 즉 물리학에서 속도·가속도를 나타낼 때 사용), 오일러가 고안한 <math>Df(x)</math> 같은 '''오일러 표기법''' 등이 존재하지만, 한국 고등학교 교육과정에서는 거의 다루지 않는다. | |||
어떤 함수를 미분한 함수는 그 함수의 '''도함수'''(導函數)라고 부른다. 반대로, 어떤 함수를 적분해서 나온 함수는 그 함수의 '''부정적분'''(원시함수)이라고 부른다. | |||
== 미분 == | |||
=== 미분계수의 정의 === | |||
미분하는 것은 '''순간변화율'''을 구하는 것이다. 이는 [[중학교]]·고등학교에서 배우는 평균변화율의 극한으로 이해할 수 있다. | |||
함수 <math>f(x)</math>의 구간 <math>[a, x]</math>에서의 평균변화율은 다음과 같다. | |||
:<math>\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math> | |||
이는 좌표평면 위의 두 점 <math>(a,f(a))</math>, <math>(x,f(x))</math>를 잇는 직선(할선)의 기울기를 의미한다. 여기서 x를 a에 한없이 가깝게 보내면, 이 할선은 점점 점 <math>(a,f(a))</math>에서의 '''접선'''에 가까워진다. 이 극한값을 '''x=a에서의 미분계수'''라 하고, 함수 <math>f(x)</math>가 모든 점에서 미분계수를 가질 때 그 미분계수들을 모아놓은 함수를 도함수 <math>f'(x)</math>라 한다. | |||
*<math>f'(a)=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>: 좌표가 각각 <math>(x,f(x))</math>, <math>(a,f(a))</math>인 두 점을 잇는 직선의 기울기의, x가 a로 다가갈 때의 극한값. 즉 <math>x=a</math>에서의 접선의 기울기라는 뜻이다. | |||
*<math>f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>: <math>x=a+h</math>로 치환하면 <math>h=x-a</math>이므로 위 식에서 곧바로 유도되는 동치인 표현이다. h가 0에 한없이 가까워진다는 것은 x가 a에 한없이 가까워진다는 것과 같은 의미이다. | |||
두 표기법은 완전히 같은 대상을 가리키지만, 실전 문제풀이에서는 상황에 따라 편한 쪽을 골라 쓰면 된다. 참고로 함수 <math>f(x)</math>가 <math>x=a</math>에서 미분가능하려면 반드시 그 점에서 '''연속'''이어야 한다(단, 역은 성립하지 않는다. 대표적인 반례가 <math>f(x)=|x|</math>로, <math>x=0</math>에서 연속이지만 미분은 불가능하다). | |||
=== 도함수의 성질 === | |||
{| class="wikitable" | |||
|- style="background-color:#ffff00;" | |||
! 성질 ! 공식 | |||
|- | |||
| 상수배 || <math>\{cf(x)\}'=cf'(x)</math> | |||
|- | |||
| 합의 미분 || <math>\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)</math> | |||
|- | |||
| 곱의 미분(곱셈법칙) || <math>\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math> | |||
|- | |||
| 몫의 미분(나눗셈법칙) || <math>\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}</math> (단, <math>g(x) \ne 0</math>) | |||
|- | |||
| 합성함수의 미분(연쇄법칙) || <math>\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)</math> | |||
|} | |||
곱셈법칙은 정의에 따라 <math>f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)</math> 사이에 <math>f(x+h)g(x)</math>를 더하고 빼는 트릭으로 증명할 수 있으며, 연쇄법칙은 라이프니츠 표기법을 빌리면 <math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}</math>처럼 마치 분수의 약분처럼 직관적으로 쓸 수 있어 매우 유용하다. 다만 엄밀한 증명에는 <math>\Delta u = 0</math>이 되는 경우를 별도로 처리해야 하는 등 주의가 필요하다. | |||
=== 여러 가지 함수의 미분법 === | |||
f(x)를 x에 대해 미분할 때 기준. | f(x)를 x에 대해 미분할 때 기준. | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- style="background-color:#ffff00;" | |- style="background-color:#ffff00;" | ||
! <math>f(x)</math> !! <math>f'(x)</math> !! 증명 및 비고 | |||
|- | |||
| | | <math>c</math> (상수) || <math>0</math> || 상수함수는 변화가 없으므로 순간변화율도 항상 0이다. | ||
|- | |- | ||
|<math>x^n</math> | | <math>x^n</math> (n은 실수) || <math>nx^{n-1}</math> || 미분계수의 정의에 의해 <math>x^n</math>의 도함수는 <math>\lim_{x \to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}</math>이다. 인수분해 공식 <math>x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1})</math>을 이용하면 <math>(x-a)</math>가 약분되어 <math>\lim_{x \to a}(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+a^{n-1})</math>이 남는다. 이 식에서 x를 a로 보내면 <math>a^{n-1}</math>항이 n개가 되므로 <math>na^{n-1}</math>, 즉 <math>nx^{n-1}</math>을 얻는다. n이 자연수가 아닌 실수인 경우에도 로그미분법 등을 이용해 같은 결과를 얻을 수 있다. | ||
|<math>nx^{n-1}</math> | |- | ||
|미분계수의 정의에 의해 <math>x^n</math>의 도함수는 <math>\lim_{x \ | | <math>e^x</math> || <math>e^x</math> || 자연상수 e는 애초에 "미분해도 자기 자신이 되는 지수함수의 밑"으로 정의될 만큼 미적분과 떼려야 뗄 수 없는 상수이다. | ||
|- | |- | ||
|<math>a^x</math> | | <math>a^x</math> (a>0, a≠1) || <math>a^x \ln a</math> || <math>a^x=e^{x\ln a}</math>로 바꾸고 연쇄법칙을 적용하면 얻을 수 있다. 원 문서에 있던 <math>a^x \ln x</math>는 틀린 공식이므로 주의. 밑이 자연상수 e일 때는 <math>\ln e=1</math>이므로 <math>e^x</math> 그대로 남는다. | ||
|<math>a^x \ln x</math> | |- | ||
| | | <math>\ln x</math> || <math>\frac{1}{x}</math> || <math>y=\ln x</math>이면 <math>e^y=x</math>이므로 양변을 x에 대해 음함수 미분하면 <math>e^y \frac{dy}{dx}=1</math>, 즉 <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}</math>이다. | ||
|- | |- | ||
|<math>\ln x</math> | | <math>\log_a x</math> (a>0, a≠1) || <math>\frac{1}{x\ln a}</math> || 밑변환공식 <math>\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}</math>을 이용해 위 결과에서 바로 유도된다. | ||
|<math>\frac{1}{ | |- | ||
| | | <math>\sin x</math> || <math>\cos x</math> || <math>\lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math>를 삼각함수의 덧셈정리로 전개하고, 극한 <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math>, <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h -1}{h}=0</math>을 이용하면 증명된다. | ||
|- | |- | ||
|<math>\sin x</math> | | <math>\cos x</math> || <math>-\sin x</math> || <math>\sin x</math>의 증명과 같은 방식으로 유도되며, <math>\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)</math> 관계와 연쇄법칙을 이용해도 증명할 수 있다. | ||
|<math>\cos x</math> | |- | ||
| | | <math>\tan x</math> || <math>\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}</math> || <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math>이므로 몫의 미분법을 적용하면 얻을 수 있다. | ||
|- | |- | ||
|<math>\cos x</math> | | <math>\cot x</math> || <math>-\csc^2 x</math> || <math>\tan x</math>와 마찬가지 방식으로 증명된다. | ||
|<math>-\ | |- | ||
| | | <math>\sec x</math> || <math>\sec x \tan x</math> || <math>\sec x = (\cos x)^{-1}</math>로 보고 연쇄법칙을 적용하면 얻을 수 있다. | ||
|- | |||
| <math>\csc x</math> || <math>-\csc x \cot x</math> || 위와 같은 방식으로 증명된다. | |||
|} | |} | ||
=같이 보기= | |||
== 적분 == | |||
미분이 순간변화율(기울기)을 구하는 것이라면, '''적분'''(積分)은 반대로 그 도함수로부터 원래 함수를 복원하거나, 곡선과 x축 사이의 넓이처럼 무한히 잘게 쪼갠 값을 다시 모두 더하는 연산이다. 즉 미분과 적분은 서로 역연산 관계에 있으며, 이 사실을 '''미적분학의 기본정리'''라고 한다. | |||
=== 부정적분 === | |||
어떤 함수 <math>f(x)</math>를 미분해서 <math>F'(x)=f(x)</math>가 되는 함수 <math>F(x)</math>를 <math>f(x)</math>의 '''원시함수'''라 하고, 이를 구하는 것을 '''부정적분'''이라 하며 다음과 같이 나타낸다. | |||
:<math>\int f(x)\,dx = F(x)+C</math> | |||
여기서 C는 '''적분상수'''로, 상수를 미분하면 0이 되기 때문에 원시함수는 하나로 유일하게 정해지지 않고 상수 차이만큼 무한히 많이 존재한다. 이 적분상수 C를 빠뜨리는 것은 수능이나 내신에서 매우 흔한 실수 유형 중 하나이다. | |||
=== 정적분 === | |||
'''정적분'''은 함수 <math>f(x)</math>와 x축, 그리고 두 직선 <math>x=a</math>, <math>x=b</math> 사이의 (부호 있는) 넓이를 구하는 연산으로, 구간 <math>[a,b]</math>를 n등분한 뒤 각 조각을 직사각형으로 근사하여 그 넓이의 합의 극한을 취하는 '''리만 합'''(Riemann sum)으로 정의된다. | |||
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x</math> | |||
부정적분과 달리 정적분의 결과값은 함수가 아니라 하나의 '''실수'''라는 점이 가장 큰 차이이다. | |||
=== 미적분학의 기본정리 === | |||
함수 <math>f(x)</math>가 구간에서 연속이고 <math>F(x)</math>가 <math>f(x)</math>의 한 원시함수일 때, 다음이 성립한다. | |||
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)</math> | |||
이 정리 덕분에 복잡한 리만 합의 극한을 직접 계산하지 않고도, 부정적분(원시함수)만 구하면 정적분 값을 손쉽게 계산할 수 있게 된다. 뉴턴과 라이프니츠가 독립적으로 이 정리에 도달했다는 사실이야말로 두 사람을 미적분의 공동 발견자로 부르는 핵심적인 이유이다. | |||
== 활용 == | |||
* '''물리학''': 위치를 시간에 대해 미분하면 속도, 속도를 다시 미분하면 가속도가 된다. 반대로 가속도를 시간에 대해 적분하면 속도, 속도를 적분하면 위치를 구할 수 있다. [[뉴턴 역학]] 자체가 미적분 없이는 성립할 수 없는 학문이다. | |||
* '''경제학''': 한계비용, 한계효용 등 '한계'(marginal)가 붙는 개념은 전부 미분 개념이며, 소비자잉여·생산자잉여 등은 정적분으로 계산한다. | |||
* '''공학''': 신호처리, 제어이론, 전자기학 등 공학 전반에서 미분방정식의 형태로 필수적으로 사용된다. | |||
* '''통계학''': 확률밀도함수를 적분하면 누적확률이 되며, 정규분포를 비롯한 대부분의 연속확률분포 이론이 적분에 기반한다. | |||
== 여담 == | |||
* 미분과 적분 중에서는 미분이 상대적으로 기계적인 계산에 가까워 학생들이 먼저 익숙해지는 편이고, 적분은 피적분함수를 보고 어떤 치환이나 방법을 써야 할지 감을 잡아야 하는 경우가 많아 상대적으로 어렵게 느끼는 학생이 많다. | |||
* "미적분을 포기한다"는 뜻의 '''미포자'''라는 신조어가 있을 정도로, 한국 고등학교 수학에서 심리적 장벽이 매우 높은 단원으로 꼽힌다. | |||
* 대학수학능력시험에서는 선택과목 중 하나로 존재하며, 자연계열 상위권 대학에 진학하려는 이과 학생들은 사실상 필수로 선택하는 경우가 많다. | |||
== 같이 보기 == | |||
* [[함수]] | |||
* [[극한]] | |||
* [[연속함수]] | |||
* [[급수]] | |||
* [[미분방정식]] | |||
* [[테일러 급수]] | |||
* [[아이작 뉴턴]] | |||
* [[고트프리트 라이프니츠]] | |||
2026년 7월 9일 (목) 13:18 기준 최신판
개요[편집 / 원본 편집]
미적분(微積分)은 미분(微分)과 적분(積分)을 아울러 이르는 말로, 수학에서 함수의 순간적인 변화율과 누적된 변화량을 다루는 분야를 일컫는다. 영어로는 각각 differentiation(미분)과 integration(적분)이라 하며, 이 둘을 통틀어 calculus라고 부른다.
미적분은 고등학교 수학 교육과정에서 문과와 이과를 막론하고 가장 많은 학생들이 어려워하는 단원 중 하나로 악명이 높다. 그러나 정작 그 핵심 아이디어는 "아주 작은 변화를 무한히 쪼개서 살펴본다"는 것 하나뿐이며, 이 아이디어 하나가 물리학, 공학, 경제학, 통계학 등 사실상 모든 자연과학·사회과학 분야의 기초를 이루고 있다.
역사[편집 / 원본 편집]
미적분의 발견자는 흔히 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠 두 사람으로 알려져 있다. 두 사람은 거의 비슷한 시기(17세기 후반)에 독립적으로 미적분학의 체계를 완성했는데, 이 때문에 둘 사이에는 누가 먼저 미적분을 발견했는지를 둘러싼 오랜 우선권 분쟁이 있었다. 결과적으로 오늘날에는 두 사람 모두 미적분의 공동 발견자로 인정받고 있으며, 현재 널리 쓰이는 [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx} }[/math] 같은 표기법은 라이프니츠가 고안한 것이다.
물론 미적분의 아이디어 자체는 이 두 사람 이전에도 존재했다. 고대 그리스의 아르키메데스는 실진법(exhaustion method)을 이용해 원의 넓이나 포물선 아래의 넓이를 구했는데, 이는 오늘날의 적분과 본질적으로 같은 발상이다. 이후 17세기에 페르마, 카발리에리 등이 접선의 기울기를 구하는 방법이나 무한소를 이용한 넓이 계산법을 연구하면서 미적분학의 토대가 마련되었다.
상세[편집 / 원본 편집]
[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 x에 대해 미분하면 [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]로 나타내며, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 x에 대해 n번 미분한 함수는 [math]\displaystyle{ f^{(n)}(x) }[/math]로 나타낸다. 이를 라그랑주 표기법이라 하는데, 정작 고등학교 교육과정에서는 [math]\displaystyle{ f^{(n)}(x) }[/math] 표기를 잘 다루지 않는다.
또한 y를 x에 대해 미분한 함수는 [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx} }[/math]라고 표기하는데, 이를 라이프니츠 표기법이라 한다. 라이프니츠 표기법은 연쇄법칙을 다룰 때 마치 분수처럼 약분되는 듯한 직관을 주기 때문에 매우 유용하게 쓰인다.
이 밖에도 뉴턴이 고안한 [math]\displaystyle{ \dot{y} }[/math] 같은 뉴턴 표기법(주로 시간에 대한 미분, 즉 물리학에서 속도·가속도를 나타낼 때 사용), 오일러가 고안한 [math]\displaystyle{ Df(x) }[/math] 같은 오일러 표기법 등이 존재하지만, 한국 고등학교 교육과정에서는 거의 다루지 않는다.
어떤 함수를 미분한 함수는 그 함수의 도함수(導函數)라고 부른다. 반대로, 어떤 함수를 적분해서 나온 함수는 그 함수의 부정적분(원시함수)이라고 부른다.
미분[편집 / 원본 편집]
미분계수의 정의[편집 / 원본 편집]
미분하는 것은 순간변화율을 구하는 것이다. 이는 중학교·고등학교에서 배우는 평균변화율의 극한으로 이해할 수 있다.
함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 구간 [math]\displaystyle{ [a, x] }[/math]에서의 평균변화율은 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} }[/math]
이는 좌표평면 위의 두 점 [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math], [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math]를 잇는 직선(할선)의 기울기를 의미한다. 여기서 x를 a에 한없이 가깝게 보내면, 이 할선은 점점 점 [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math]에서의 접선에 가까워진다. 이 극한값을 x=a에서의 미분계수라 하고, 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 모든 점에서 미분계수를 가질 때 그 미분계수들을 모아놓은 함수를 도함수 [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math]라 한다.
- [math]\displaystyle{ f'(a)=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} }[/math]: 좌표가 각각 [math]\displaystyle{ (x,f(x)) }[/math], [math]\displaystyle{ (a,f(a)) }[/math]인 두 점을 잇는 직선의 기울기의, x가 a로 다가갈 때의 극한값. 즉 [math]\displaystyle{ x=a }[/math]에서의 접선의 기울기라는 뜻이다.
- [math]\displaystyle{ f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} }[/math]: [math]\displaystyle{ x=a+h }[/math]로 치환하면 [math]\displaystyle{ h=x-a }[/math]이므로 위 식에서 곧바로 유도되는 동치인 표현이다. h가 0에 한없이 가까워진다는 것은 x가 a에 한없이 가까워진다는 것과 같은 의미이다.
두 표기법은 완전히 같은 대상을 가리키지만, 실전 문제풀이에서는 상황에 따라 편한 쪽을 골라 쓰면 된다. 참고로 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 [math]\displaystyle{ x=a }[/math]에서 미분가능하려면 반드시 그 점에서 연속이어야 한다(단, 역은 성립하지 않는다. 대표적인 반례가 [math]\displaystyle{ f(x)=|x| }[/math]로, [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]에서 연속이지만 미분은 불가능하다).
도함수의 성질[편집 / 원본 편집]
| 성질 ! 공식 | |
|---|---|
| 상수배 | [math]\displaystyle{ \{cf(x)\}'=cf'(x) }[/math] |
| 합의 미분 | [math]\displaystyle{ \{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x) }[/math] |
| 곱의 미분(곱셈법칙) | [math]\displaystyle{ \{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) }[/math] |
| 몫의 미분(나눗셈법칙) | [math]\displaystyle{ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} }[/math] (단, [math]\displaystyle{ g(x) \ne 0 }[/math]) |
| 합성함수의 미분(연쇄법칙) | [math]\displaystyle{ \{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x) }[/math] |
곱셈법칙은 정의에 따라 [math]\displaystyle{ f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) }[/math] 사이에 [math]\displaystyle{ f(x+h)g(x) }[/math]를 더하고 빼는 트릭으로 증명할 수 있으며, 연쇄법칙은 라이프니츠 표기법을 빌리면 [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} }[/math]처럼 마치 분수의 약분처럼 직관적으로 쓸 수 있어 매우 유용하다. 다만 엄밀한 증명에는 [math]\displaystyle{ \Delta u = 0 }[/math]이 되는 경우를 별도로 처리해야 하는 등 주의가 필요하다.
여러 가지 함수의 미분법[편집 / 원본 편집]
f(x)를 x에 대해 미분할 때 기준.
| [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] | [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] | 증명 및 비고 |
|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ c }[/math] (상수) | [math]\displaystyle{ 0 }[/math] | 상수함수는 변화가 없으므로 순간변화율도 항상 0이다. |
| [math]\displaystyle{ x^n }[/math] (n은 실수) | [math]\displaystyle{ nx^{n-1} }[/math] | 미분계수의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ x^n }[/math]의 도함수는 [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}\frac{x^n-a^n}{x-a} }[/math]이다. 인수분해 공식 [math]\displaystyle{ x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1}) }[/math]을 이용하면 [math]\displaystyle{ (x-a) }[/math]가 약분되어 [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a}(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+a^{n-1}) }[/math]이 남는다. 이 식에서 x를 a로 보내면 [math]\displaystyle{ a^{n-1} }[/math]항이 n개가 되므로 [math]\displaystyle{ na^{n-1} }[/math], 즉 [math]\displaystyle{ nx^{n-1} }[/math]을 얻는다. n이 자연수가 아닌 실수인 경우에도 로그미분법 등을 이용해 같은 결과를 얻을 수 있다. |
| [math]\displaystyle{ e^x }[/math] | [math]\displaystyle{ e^x }[/math] | 자연상수 e는 애초에 "미분해도 자기 자신이 되는 지수함수의 밑"으로 정의될 만큼 미적분과 떼려야 뗄 수 없는 상수이다. |
| [math]\displaystyle{ a^x }[/math] (a>0, a≠1) | [math]\displaystyle{ a^x \ln a }[/math] | [math]\displaystyle{ a^x=e^{x\ln a} }[/math]로 바꾸고 연쇄법칙을 적용하면 얻을 수 있다. 원 문서에 있던 [math]\displaystyle{ a^x \ln x }[/math]는 틀린 공식이므로 주의. 밑이 자연상수 e일 때는 [math]\displaystyle{ \ln e=1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ e^x }[/math] 그대로 남는다. |
| [math]\displaystyle{ \ln x }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] | [math]\displaystyle{ y=\ln x }[/math]이면 [math]\displaystyle{ e^y=x }[/math]이므로 양변을 x에 대해 음함수 미분하면 [math]\displaystyle{ e^y \frac{dy}{dx}=1 }[/math], 즉 [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x} }[/math]이다. |
| [math]\displaystyle{ \log_a x }[/math] (a>0, a≠1) | [math]\displaystyle{ \frac{1}{x\ln a} }[/math] | 밑변환공식 [math]\displaystyle{ \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a} }[/math]을 이용해 위 결과에서 바로 유도된다. |
| [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] | [math]\displaystyle{ \cos x }[/math] | [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} }[/math]를 삼각함수의 덧셈정리로 전개하고, 극한 [math]\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{\cos h -1}{h}=0 }[/math]을 이용하면 증명된다. |
| [math]\displaystyle{ \cos x }[/math] | [math]\displaystyle{ -\sin x }[/math] | [math]\displaystyle{ \sin x }[/math]의 증명과 같은 방식으로 유도되며, [math]\displaystyle{ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) }[/math] 관계와 연쇄법칙을 이용해도 증명할 수 있다. |
| [math]\displaystyle{ \tan x }[/math] | [math]\displaystyle{ \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} }[/math] | [math]\displaystyle{ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} }[/math]이므로 몫의 미분법을 적용하면 얻을 수 있다. |
| [math]\displaystyle{ \cot x }[/math] | [math]\displaystyle{ -\csc^2 x }[/math] | [math]\displaystyle{ \tan x }[/math]와 마찬가지 방식으로 증명된다. |
| [math]\displaystyle{ \sec x }[/math] | [math]\displaystyle{ \sec x \tan x }[/math] | [math]\displaystyle{ \sec x = (\cos x)^{-1} }[/math]로 보고 연쇄법칙을 적용하면 얻을 수 있다. |
| [math]\displaystyle{ \csc x }[/math] | [math]\displaystyle{ -\csc x \cot x }[/math] | 위와 같은 방식으로 증명된다. |
적분[편집 / 원본 편집]
미분이 순간변화율(기울기)을 구하는 것이라면, 적분(積分)은 반대로 그 도함수로부터 원래 함수를 복원하거나, 곡선과 x축 사이의 넓이처럼 무한히 잘게 쪼갠 값을 다시 모두 더하는 연산이다. 즉 미분과 적분은 서로 역연산 관계에 있으며, 이 사실을 미적분학의 기본정리라고 한다.
부정적분[편집 / 원본 편집]
어떤 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]를 미분해서 [math]\displaystyle{ F'(x)=f(x) }[/math]가 되는 함수 [math]\displaystyle{ F(x) }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 원시함수라 하고, 이를 구하는 것을 부정적분이라 하며 다음과 같이 나타낸다.
- [math]\displaystyle{ \int f(x)\,dx = F(x)+C }[/math]
여기서 C는 적분상수로, 상수를 미분하면 0이 되기 때문에 원시함수는 하나로 유일하게 정해지지 않고 상수 차이만큼 무한히 많이 존재한다. 이 적분상수 C를 빠뜨리는 것은 수능이나 내신에서 매우 흔한 실수 유형 중 하나이다.
정적분[편집 / 원본 편집]
정적분은 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]와 x축, 그리고 두 직선 [math]\displaystyle{ x=a }[/math], [math]\displaystyle{ x=b }[/math] 사이의 (부호 있는) 넓이를 구하는 연산으로, 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]를 n등분한 뒤 각 조각을 직사각형으로 근사하여 그 넓이의 합의 극한을 취하는 리만 합(Riemann sum)으로 정의된다.
- [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x }[/math]
부정적분과 달리 정적분의 결과값은 함수가 아니라 하나의 실수라는 점이 가장 큰 차이이다.
미적분학의 기본정리[편집 / 원본 편집]
함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 구간에서 연속이고 [math]\displaystyle{ F(x) }[/math]가 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 한 원시함수일 때, 다음이 성립한다.
- [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a) }[/math]
이 정리 덕분에 복잡한 리만 합의 극한을 직접 계산하지 않고도, 부정적분(원시함수)만 구하면 정적분 값을 손쉽게 계산할 수 있게 된다. 뉴턴과 라이프니츠가 독립적으로 이 정리에 도달했다는 사실이야말로 두 사람을 미적분의 공동 발견자로 부르는 핵심적인 이유이다.
활용[편집 / 원본 편집]
- 물리학: 위치를 시간에 대해 미분하면 속도, 속도를 다시 미분하면 가속도가 된다. 반대로 가속도를 시간에 대해 적분하면 속도, 속도를 적분하면 위치를 구할 수 있다. 뉴턴 역학 자체가 미적분 없이는 성립할 수 없는 학문이다.
- 경제학: 한계비용, 한계효용 등 '한계'(marginal)가 붙는 개념은 전부 미분 개념이며, 소비자잉여·생산자잉여 등은 정적분으로 계산한다.
- 공학: 신호처리, 제어이론, 전자기학 등 공학 전반에서 미분방정식의 형태로 필수적으로 사용된다.
- 통계학: 확률밀도함수를 적분하면 누적확률이 되며, 정규분포를 비롯한 대부분의 연속확률분포 이론이 적분에 기반한다.
여담[편집 / 원본 편집]
- 미분과 적분 중에서는 미분이 상대적으로 기계적인 계산에 가까워 학생들이 먼저 익숙해지는 편이고, 적분은 피적분함수를 보고 어떤 치환이나 방법을 써야 할지 감을 잡아야 하는 경우가 많아 상대적으로 어렵게 느끼는 학생이 많다.
- "미적분을 포기한다"는 뜻의 미포자라는 신조어가 있을 정도로, 한국 고등학교 수학에서 심리적 장벽이 매우 높은 단원으로 꼽힌다.
- 대학수학능력시험에서는 선택과목 중 하나로 존재하며, 자연계열 상위권 대학에 진학하려는 이과 학생들은 사실상 필수로 선택하는 경우가 많다.