등비중항 편집하기

{{틀:수열의 중항}}

<div style="text-align:center;">
<big><big>'''<math>b^2=ac</math>'''</big></big>
</div>

'''등비중항'''은 세 수가 차례로 [[등비수열]]을 이룰 때 가운데에 놓인 수를 말한다. 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등비수열을 이루면 다음 관계가 성립한다.

:<math>\boxed{b^2=ac}</math>

즉, 가운데 수 <math>b</math>의 제곱은 양쪽 두 수 <math>a</math>와 <math>c</math>의 곱과 같다.

== 정의 ==
세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 이 순서대로 등비수열을 이룬다고 하자.

이때 가운데에 있는 수 <math>b</math>를 <math>a</math>와 <math>c</math>의 '''등비중항'''이라고 한다.

세 수가 등비수열을 이루므로 일정한 수 <math>r</math>에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:<math>b=ar</math>
:<math>c=ar^2</math>

여기서 <math>r</math>은 이 등비수열의 [[공비]]이다.

== 기본 성질 ==
세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등비수열을 이루면 다음 식이 성립한다.

:<math>b^2=ac</math>

따라서 양쪽의 두 수 <math>a</math>, <math>c</math>를 알고 있다면 등비중항 <math>b</math>는 다음 식을 만족한다.

:<math>b=\pm\sqrt{ac}</math>

다만 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>를 양수로 제한하는 경우에는 양의 값만 사용하므로 다음과 같다.

:<math>b=\sqrt{ac}</math>

이때 <math>\sqrt{ac}</math>를 두 양수 <math>a</math>와 <math>c</math>의 [[기하평균]]이라고 한다.

== 증명 ==
=== 공비를 이용한 증명 ===
세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등비수열을 이룬다고 하자.

공비를 <math>r</math>이라고 하면

:<math>b=ar</math>

이고,

:<math>c=br=ar^2</math>

이다.

이제 <math>b</math>를 제곱하면

:<math>b^2=(ar)^2=a^2r^2</math>

이다.

한편 <math>a</math>와 <math>c</math>를 곱하면

:<math>ac=a\cdot ar^2=a^2r^2</math>

이다.

따라서

:<math>b^2=ac</math>

가 성립한다.

=== 비의 성질을 이용한 증명 ===
<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등비수열이고 각 분모가 <math>0</math>이 아니라고 하자.

등비수열에서는 이웃한 두 항의 비가 일정하므로

:<math>\frac{b}{a}=\frac{c}{b}</math>

이다.

양변에 <math>ab</math>를 곱하면

:<math>ab\cdot\frac{b}{a}=ab\cdot\frac{c}{b}</math>

이고, 이를 정리하면

:<math>b^2=ac</math>

를 얻는다.

이 증명은 나눗셈을 사용하므로 <math>a\ne0</math>, <math>b\ne0</math>인 경우에 사용할 수 있다. <math>0</math>이 포함된 경우까지 다루려면 공비를 이용한 증명이 더 적절하다.

== 예제 ==
=== 예제 1 ===
세 수 <math>2</math>, <math>6</math>, <math>18</math>은 차례로 등비수열을 이룬다.

공비는

:<math>\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=3</math>

이다.

가운데 수의 제곱과 양쪽 두 수의 곱을 각각 계산하면

:<math>6^2=36</math>

이고,

:<math>2\cdot18=36</math>

이다.

따라서

:<math>6^2=2\cdot18</math>

이 성립한다.

=== 예제 2 ===
<math>3</math>과 <math>12</math> 사이에 양의 등비중항 <math>x</math>를 넣는다고 하자.

그러면

:<math>3,\ x,\ 12</math>

가 차례로 등비수열을 이루므로

:<math>x^2=3\cdot12</math>

이다.

따라서

:<math>x^2=36</math>

이고, 양의 등비중항을 구하는 것이므로

:<math>x=6</math>

이다.

실제로

:<math>\frac{6}{3}=\frac{12}{6}=2</math>

이므로 <math>3</math>, <math>6</math>, <math>12</math>는 공비가 <math>2</math>인 등비수열이다.

=== 예제 3 ===
세 수 <math>4</math>, <math>x</math>, <math>25</math>가 차례로 등비수열을 이룬다고 하자.

등비중항의 성질에 따라

:<math>x^2=4\cdot25=100</math>

이다.

따라서

:<math>x=\pm10</math>

이다.

실제로 다음 두 수열은 모두 등비수열이다.

:<math>4,\ 10,\ 25</math>

이 수열의 공비는 <math>\frac{5}{2}</math>이다.

:<math>4,\ -10,\ 25</math>

이 수열의 공비는 <math>-\frac{5}{2}</math>이다.

따라서 실수 전체에서 생각하면 등비중항은 두 개가 될 수 있다. 그러나 양의 등비중항만을 구하는 문제에서는 <math>10</math>만 답으로 사용한다.

== 등비중항을 구하는 방법 ==
두 수 <math>a</math>, <math>c</math> 사이에 등비중항 <math>b</math>를 넣으려면 다음 순서로 계산한다.

# 등비중항의 성질 <math>b^2=ac</math>를 세운다.
# 양쪽 두 수를 곱하여 <math>b^2</math>의 값을 구한다.
# 제곱근을 구하여 <math>b</math>의 값을 결정한다.
# 문제에서 양수만 요구하는지 확인한다.

예를 들어 <math>8</math>과 <math>18</math>의 양의 등비중항을 구하면

:<math>b^2=8\cdot18=144</math>

이므로

:<math>b=\sqrt{144}=12</math>

이다.

== 등차중항과의 비교 ==
등비중항은 [[등차중항]]과 형태가 다르다.

등차수열 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>에서는 가운데 수의 두 배가 양쪽 두 수의 합과 같다.

:<math>2b=a+c</math>

따라서 등차중항은

:<math>b=\frac{a+c}{2}</math>

이다.

반면 등비수열 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>에서는 가운데 수의 제곱이 양쪽 두 수의 곱과 같다.

:<math>b^2=ac</math>

양수인 경우의 등비중항은

:<math>b=\sqrt{ac}</math>

이다.

즉, 등차중항은 양쪽 두 수의 '''합'''과 관련되고, 등비중항은 양쪽 두 수의 '''곱'''과 관련된다.

== 주의할 점 ==

* <math>\frac{b}{a}=\frac{c}{b}</math>에서 공비는 <math>a</math>가 아니라 <math>r</math>이다.
* 비를 이용한 증명에서는 분모가 되는 <math>a</math>와 <math>b</math>가 <math>0</math>이 아니어야 한다.
* <math>b^2=ac</math>에서 제곱근을 구하면 일반적으로 <math>b=\pm\sqrt{ac}</math>이다.
* 모든 수가 양수라고 주어진 경우에는 <math>b=\sqrt{ac}</math>만 사용한다.
* 실수 범위에서 등비중항이 존재하려면 <math>ac\ge0</math>이어야 한다.
* <math>b^2=ac</math>가 성립하더라도 <math>0</math>이 포함된 특별한 경우에는 세 수가 실제로 등비수열을 이루는지 별도로 확인해야 한다.

== 같이 보기 ==

* [[등비수열]]
* [[공비]]
* [[기하평균]]
* [[등차중항]]
* [[산술평균]]
* [[수열]]

[[분류:수열]]
[[분류:등비수열]]
[[분류:평균]]