귀하는 로그인되어 있지 않습니다. 이대로 편집하면 귀하의 IP 주소가 편집 기록에 남게 됩니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!{{틀:수열의 중항}} <div style="text-align:center;"> <big><big>'''<math>b=\frac{a+c}{2}</math>'''</big></big> </div> '''등차중항'''은 세 수가 차례로 [[등차수열]]을 이룰 때 가운데에 놓인 수를 말한다. 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 이 순서대로 등차수열을 이루면 다음 관계가 성립한다. :<math>\boxed{2b=a+c}</math> 따라서 가운데 수 <math>b</math>는 양쪽 두 수 <math>a</math>와 <math>c</math>의 평균과 같다. :<math>\boxed{b=\frac{a+c}{2}}</math> == 정의 == 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 이 순서대로 등차수열을 이룬다고 하자. 이때 가운데에 있는 수 <math>b</math>를 <math>a</math>와 <math>c</math>의 '''등차중항'''이라고 한다. 등차수열에서는 이웃한 두 항의 차가 일정하므로 다음 식이 성립한다. :<math>b-a=c-b</math> 이 식을 정리하면 등차중항의 기본 성질을 얻는다. :<math>2b=a+c</math> 따라서 :<math>b=\frac{a+c}{2}</math> 이다. 즉, 등차중항은 양쪽 두 수의 [[산술평균]]이다. == 기본 성질 == 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등차수열을 이루면 다음 식들이 모두 성립한다. :<math>b-a=c-b</math> :<math>2b=a+c</math> :<math>b=\frac{a+c}{2}</math> 이 세 식은 서로 같은 내용을 서로 다른 형태로 나타낸 것이다. * <math>b-a=c-b</math>는 이웃한 두 항의 차가 같다는 뜻이다. * <math>2b=a+c</math>는 가운데 수의 두 배가 양쪽 두 수의 합과 같다는 뜻이다. * <math>b=\frac{a+c}{2}</math>는 가운데 수가 양쪽 두 수의 산술평균이라는 뜻이다. == 증명 == === 공차를 이용한 증명 === 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등차수열을 이룬다고 하자. 이 등차수열의 [[공차]]를 <math>d</math>라고 하면 :<math>b=a+d</math> 이고, :<math>c=a+2d</math> 이다. 이제 <math>a</math>와 <math>c</math>의 합을 계산하면 :<math>a+c=a+(a+2d)=2a+2d</math> 이다. 한편 <math>b=a+d</math>이므로 :<math>2b=2(a+d)=2a+2d</math> 이다. 따라서 :<math>2b=a+c</math> 가 성립한다. 양변을 <math>2</math>로 나누면 :<math>b=\frac{a+c}{2}</math> 를 얻는다. === 이웃한 항의 차를 이용한 증명 === 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등차수열을 이루면 이웃한 두 항의 차가 같다. 따라서 :<math>b-a=c-b</math> 이다. 양변에 <math>a+b</math>를 더하면 :<math>2b=a+c</math> 가 된다. 양변을 <math>2</math>로 나누면 :<math>b=\frac{a+c}{2}</math> 이다. 따라서 등차중항은 양쪽 두 수의 산술평균과 같다. == 역도 성립함 == 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>에 대하여 :<math>b=\frac{a+c}{2}</math> 가 성립한다고 하자. 양변에 <math>2</math>를 곱하면 :<math>2b=a+c</math> 이다. 이 식을 정리하면 :<math>b-a=c-b</math> 를 얻는다. 따라서 <math>a</math>에서 <math>b</math>로 증가한 양과 <math>b</math>에서 <math>c</math>로 증가한 양이 같다. 그러므로 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>는 차례로 등차수열을 이룬다. 따라서 다음 두 명제는 서로 동치이다. * <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등차수열을 이룬다. * <math>b=\frac{a+c}{2}</math>가 성립한다. == 등차중항을 구하는 방법 == 두 수 <math>a</math>와 <math>c</math> 사이에 등차중항 <math>b</math>를 넣으려면 다음 공식을 사용한다. :<math>b=\frac{a+c}{2}</math> 계산 과정은 다음과 같다. # 양쪽 두 수 <math>a</math>와 <math>c</math>를 더한다. # 그 합을 <math>2</math>로 나눈다. # 계산한 값이 등차중항 <math>b</math>이다. # 필요하다면 두 차 <math>b-a</math>와 <math>c-b</math>가 같은지 확인한다. == 예제 == === 예제 1 === <math>3</math>과 <math>11</math> 사이에 등차중항 <math>b</math>를 넣는다고 하자. 등차중항의 공식에 따라 :<math>b=\frac{3+11}{2}</math> 이다. 따라서 :<math>b=\frac{14}{2}=7</math> 이다. 실제로 :<math>7-3=4</math> 이고, :<math>11-7=4</math> 이므로 <math>3</math>, <math>7</math>, <math>11</math>은 공차가 <math>4</math>인 등차수열이다. === 예제 2 === 세 수 <math>-5</math>, <math>x</math>, <math>9</math>가 차례로 등차수열을 이룬다고 하자. 등차중항의 성질을 이용하면 :<math>x=\frac{-5+9}{2}</math> 이다. 따라서 :<math>x=\frac{4}{2}=2</math> 이다. 실제로 :<math>2-(-5)=7</math> 이고, :<math>9-2=7</math> 이므로 세 수의 공차는 <math>7</math>이다. === 예제 3 === 세 수 <math>2x-1</math>, <math>7</math>, <math>3x+2</math>가 차례로 등차수열을 이룬다고 하자. 가운데 수의 두 배는 양쪽 두 수의 합과 같으므로 :<math>2\cdot7=(2x-1)+(3x+2)</math> 이다. 식을 정리하면 :<math>14=5x+1</math> 이므로 :<math>5x=13</math> 이고, :<math>x=\frac{13}{5}</math> 이다. === 예제 4 === <math>4</math>, <math>10</math>, <math>16</math>이 등차수열인지 확인해 보자. 가운데 수 <math>10</math>과 양쪽 두 수의 평균을 비교하면 :<math>\frac{4+16}{2}=\frac{20}{2}=10</math> 이다. 가운데 수가 양쪽 두 수의 평균과 같으므로 <math>4</math>, <math>10</math>, <math>16</math>은 차례로 등차수열을 이룬다. == 수직선에서의 의미 == 수직선 위에서 <math>a</math>와 <math>c</math>를 나타내는 두 점을 생각해 보자. 등차중항 :<math>b=\frac{a+c}{2}</math> 는 두 점 <math>a</math>와 <math>c</math>의 정확한 가운데에 놓인다. 따라서 <math>a\le c</math>인 경우 다음 두 거리가 같다. :<math>b-a=c-b</math> 즉, 등차중항은 수직선에서 양쪽 두 수의 중점에 해당한다. == 여러 개의 등차중항 == 두 수 <math>a</math>와 <math>c</math> 사이에 등차중항을 하나가 아니라 여러 개 넣을 수도 있다. 예를 들어 <math>a</math>와 <math>c</math> 사이에 세 수를 넣어 전체가 다섯 항인 등차수열을 만든다고 하자. :<math>a,\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ c</math> 전체 항의 수가 <math>5</math>이므로 공차 <math>d</math>는 :<math>d=\frac{c-a}{4}</math> 이다. 따라서 세 등차중항은 다음과 같다. :<math>x_1=a+d</math> :<math>x_2=a+2d</math> :<math>x_3=a+3d</math> 일반적으로 <math>a</math>와 <math>c</math> 사이에 <math>n</math>개의 등차중항을 넣으면 전체 항의 수는 <math>n+2</math>이고, 공차는 다음과 같다. :<math>d=\frac{c-a}{n+1}</math> 이때 <math>k</math>번째 등차중항은 :<math>x_k=a+kd \qquad (1\le k\le n)</math> 이므로 :<math>x_k=a+\frac{k(c-a)}{n+1}</math> 로 나타낼 수 있다. == 등비중항과의 비교 == 등차중항과 [[등비중항]]은 모두 세 수로 이루어진 수열의 가운데 항이지만, 사용하는 연산이 다르다. {| class="wikitable" ! 구분 !! 등차중항 !! 등비중항 |- | 수열의 종류 || [[등차수열]] || [[등비수열]] |- | 기본 관계 || <math>b-a=c-b</math> || <math>\frac{b}{a}=\frac{c}{b}</math> |- | 중항의 성질 || <math>2b=a+c</math> || <math>b^2=ac</math> |- | 중항을 구하는 공식 || <math>b=\frac{a+c}{2}</math> || <math>b=\pm\sqrt{ac}</math> |- | 양수인 경우 || <math>b=\frac{a+c}{2}</math> || <math>b=\sqrt{ac}</math> |- | 관련된 평균 || [[산술평균]] || [[기하평균]] |- | 주로 사용하는 연산 || 덧셈과 나눗셈 || 곱셈과 제곱근 |} 등차중항은 양쪽 두 수의 '''합'''을 이용하여 구하고, 등비중항은 양쪽 두 수의 '''곱'''을 이용하여 구한다. == 주의할 점 == * 등차중항은 양쪽 두 수를 더한 뒤 반드시 <math>2</math>로 나누어야 한다. * <math>\frac{a+c}{2}</math>는 <math>a+\frac{c}{2}</math>와 다르다. * 음수가 포함되어 있어도 같은 공식을 사용할 수 있다. * <math>a</math>와 <math>c</math>가 같으면 등차중항도 같은 값이다. 예를 들어 <math>5</math>, <math>5</math>, <math>5</math>는 공차가 <math>0</math>인 등차수열이다. * 세 수가 등차수열인지 확인할 때에는 <math>b-a=c-b</math> 또는 <math>2b=a+c</math>를 사용할 수 있다. * 등차중항은 두 실수 <math>a</math>, <math>c</math>에 대하여 항상 하나만 존재한다. == 같이 보기 == * [[등차수열]] * [[공차]] * [[산술평균]] * [[등비중항]] * [[등비수열]] * [[기하평균]] * [[수열]] [[분류:수열]] [[분류:등차수열]] [[분류:평균]] 편집 요약 가온 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 라이선스로 배포된다는 점을 유의해 주세요(자세한 내용에 대해서는 가온 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 또한, 직접 작성했거나 퍼블릭 도메인과 같은 자유 문서에서 가져왔다는 것을 보증해야 합니다. 저작권이 있는 내용을 허가 없이 저장하지 마세요! 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