벡터 편집하기 (부분)

== 벡터의 연산 ==
벡터는 여러 연산을 통해 서로 결합되거나 변형될 수 있다. 대표적인 연산에는 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱셈, 내적 및 외적 등이 있다.

=== 벡터의 덧셈 ===
두 벡터 <math>\vec{\mathbf{u}}</math>와 <math>\vec{\mathbf{v}}</math>의 합은 기하학적으로 헤드-투-테일(head-to-tail) 방법을 사용하여 구할 수 있다.  
예를 들어, 만약 <math>\vec{\mathbf{u}}</math>가 A에서 B로 가는 벡터이고, <math>\vec{\mathbf{v}}</math>가 B에서 C로 가는 벡터라면, 두 벡터의 합 <math>\vec{\mathbf{u}} + \vec{\mathbf{v}}</math>는 A에서 C로 가는 벡터가 된다.

=== 벡터의 뺄셈 ===
벡터의 뺄셈은 덧셈의 역산으로 이해할 수 있다.  
즉, <math>\vec{\mathbf{u}} - \vec{\mathbf{v}}</math>는 <math>\vec{\mathbf{u}} + (-\vec{\mathbf{v}})</math>와 같으며, 여기서 <math>-\vec{\mathbf{v}}</math>는 벡터 <math>\vec{\mathbf{v}}</math>의 방향을 반대로 뒤집은 것이다.  
예: <math>\vec{\mathbf{AB}} - \vec{\mathbf{AC}} = \vec{\mathbf{CB}}</math>와 같이 해석할 수 있다.

=== 스칼라 곱셈 ===
벡터에 실수(스칼라)를 곱하는 연산이다. 스칼라 곱셈은 벡터의 크기를 조절하며, 곱해지는 스칼라의 절댓값에 따라 벡터의 길이가 늘어나거나 줄어든다. 스칼라가 음수일 경우 벡터의 방향은 반대로 전환된다.
* 수식: <math>k\vec{\mathbf{v}}</math>
[[File:Scalar multiplication of vectors2.svg]]
위 그림은 스칼라 곱셈의 과정을 시각적으로 설명하여, 스칼라 값에 따라 벡터의 크기와 방향이 어떻게 변하는지를 보여준다.

=== 벡터의 내적 (Dot Product) ===
두 벡터의 내적은 두 벡터 사이의 각도와 크기를 반영하는 연산이다.  
* 정의: <math>\vec{\mathbf{u}} \cdot \vec{\mathbf{v}} = |\vec{\mathbf{u}}|\,|\vec{\mathbf{v}}|\cos\theta</math>  
내적의 결과는 스칼라량으로, 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하고 있는지를 나타낸다. 특히, 두 벡터가 수직이면(즉, <math>\theta = 90^\circ</math>) 내적은 0이 된다.

=== 벡터의 외적 (Cross Product) ===
외적은 주로 3차원 공간에서 사용되는 연산으로, 두 벡터로부터 또 다른 벡터를 생성한다.  
* 정의: <math>\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}</math>  
외적의 결과 벡터는 <math>\vec{\mathbf{u}}</math>와 <math>\vec{\mathbf{v}}</math> 모두에 수직이며, 그 크기는 <math>|\vec{\mathbf{u}}|\,|\vec{\mathbf{v}}|\sin\theta</math>로 계산된다.  
이 연산은 물리학에서 회전 운동, 토크(회전력) 및 자기장 계산 등 여러 응용 분야에서 중요하게 활용된다.