등비중항

수열의 중앙
등차중항	등비중항

[math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]

등비중항은 세 수가 차례로 등비수열을 이룰 때 가운데에 놓인 수를 말한다. 세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등비수열을 이루면 다음 관계가 성립한다.

[math]\displaystyle{ \boxed{b^2=ac} }[/math]

즉, 가운데 수 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 제곱은 양쪽 두 수 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 곱과 같다.

1. 정의#

세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 이 순서대로 등비수열을 이룬다고 하자.

이때 가운데에 있는 수 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 등비중항이라고 한다.

세 수가 등비수열을 이루므로 일정한 수 [math]\displaystyle{ r }[/math]에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ b=ar }[/math]

[math]\displaystyle{ c=ar^2 }[/math]

여기서 [math]\displaystyle{ r }[/math]은 이 등비수열의 공비이다.

2. 기본 성질#

세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등비수열을 이루면 다음 식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]

따라서 양쪽의 두 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]를 알고 있다면 등비중항 [math]\displaystyle{ b }[/math]는 다음 식을 만족한다.

[math]\displaystyle{ b=\pm\sqrt{ac} }[/math]

다만 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]를 양수로 제한하는 경우에는 양의 값만 사용하므로 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ b=\sqrt{ac} }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ \sqrt{ac} }[/math]를 두 양수 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 기하평균이라고 한다.

3. 증명#

3.1 공비를 이용한 증명#

세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등비수열을 이룬다고 하자.

공비를 [math]\displaystyle{ r }[/math]이라고 하면

[math]\displaystyle{ b=ar }[/math]

이고,

[math]\displaystyle{ c=br=ar^2 }[/math]

이다.

이제 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 제곱하면

[math]\displaystyle{ b^2=(ar)^2=a^2r^2 }[/math]

이다.

한편 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]를 곱하면

[math]\displaystyle{ ac=a\cdot ar^2=a^2r^2 }[/math]

이다.

따라서

[math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]

가 성립한다.

3.2 비의 성질을 이용한 증명#

[math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등비수열이고 각 분모가 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]이 아니라고 하자.

등비수열에서는 이웃한 두 항의 비가 일정하므로

[math]\displaystyle{ \frac{b}{a}=\frac{c}{b} }[/math]

이다.

양변에 [math]\displaystyle{ ab }[/math]를 곱하면

[math]\displaystyle{ ab\cdot\frac{b}{a}=ab\cdot\frac{c}{b} }[/math]

이고, 이를 정리하면

[math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]

를 얻는다.

이 증명은 나눗셈을 사용하므로 [math]\displaystyle{ a\ne0 }[/math], [math]\displaystyle{ b\ne0 }[/math]인 경우에 사용할 수 있다. [math]\displaystyle{ 0 }[/math]이 포함된 경우까지 다루려면 공비를 이용한 증명이 더 적절하다.

4. 예제#

4.1 예제 1#

세 수 [math]\displaystyle{ 2 }[/math], [math]\displaystyle{ 6 }[/math], [math]\displaystyle{ 18 }[/math]은 차례로 등비수열을 이룬다.

공비는

[math]\displaystyle{ \frac{6}{2}=\frac{18}{6}=3 }[/math]

이다.

가운데 수의 제곱과 양쪽 두 수의 곱을 각각 계산하면

[math]\displaystyle{ 6^2=36 }[/math]

이고,

[math]\displaystyle{ 2\cdot18=36 }[/math]

이다.

따라서

[math]\displaystyle{ 6^2=2\cdot18 }[/math]

이 성립한다.

4.2 예제 2#

[math]\displaystyle{ 3 }[/math]과 [math]\displaystyle{ 12 }[/math] 사이에 양의 등비중항 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 넣는다고 하자.

그러면

[math]\displaystyle{ 3,\ x,\ 12 }[/math]

가 차례로 등비수열을 이루므로

[math]\displaystyle{ x^2=3\cdot12 }[/math]

이다.

따라서

[math]\displaystyle{ x^2=36 }[/math]

이고, 양의 등비중항을 구하는 것이므로

[math]\displaystyle{ x=6 }[/math]

이다.

실제로

[math]\displaystyle{ \frac{6}{3}=\frac{12}{6}=2 }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ 3 }[/math], [math]\displaystyle{ 6 }[/math], [math]\displaystyle{ 12 }[/math]는 공비가 [math]\displaystyle{ 2 }[/math]인 등비수열이다.

4.3 예제 3#

세 수 [math]\displaystyle{ 4 }[/math], [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ 25 }[/math]가 차례로 등비수열을 이룬다고 하자.

등비중항의 성질에 따라

[math]\displaystyle{ x^2=4\cdot25=100 }[/math]

이다.

따라서

[math]\displaystyle{ x=\pm10 }[/math]

이다.

실제로 다음 두 수열은 모두 등비수열이다.

[math]\displaystyle{ 4,\ 10,\ 25 }[/math]

이 수열의 공비는 [math]\displaystyle{ \frac{5}{2} }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ 4,\ -10,\ 25 }[/math]

이 수열의 공비는 [math]\displaystyle{ -\frac{5}{2} }[/math]이다.

따라서 실수 전체에서 생각하면 등비중항은 두 개가 될 수 있다. 그러나 양의 등비중항만을 구하는 문제에서는 [math]\displaystyle{ 10 }[/math]만 답으로 사용한다.

5. 등비중항을 구하는 방법#

두 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math] 사이에 등비중항 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 넣으려면 다음 순서로 계산한다.

1. 등비중항의 성질 [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]를 세운다.
2. 양쪽 두 수를 곱하여 [math]\displaystyle{ b^2 }[/math]의 값을 구한다.
3. 제곱근을 구하여 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 값을 결정한다.
4. 문제에서 양수만 요구하는지 확인한다.

예를 들어 [math]\displaystyle{ 8 }[/math]과 [math]\displaystyle{ 18 }[/math]의 양의 등비중항을 구하면

[math]\displaystyle{ b^2=8\cdot18=144 }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ b=\sqrt{144}=12 }[/math]

이다.

6. 등차중항과의 비교#

등비중항은 등차중항과 형태가 다르다.

등차수열 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]에서는 가운데 수의 두 배가 양쪽 두 수의 합과 같다.

[math]\displaystyle{ 2b=a+c }[/math]

따라서 등차중항은

[math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]

이다.

반면 등비수열 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]에서는 가운데 수의 제곱이 양쪽 두 수의 곱과 같다.

[math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]

양수인 경우의 등비중항은

[math]\displaystyle{ b=\sqrt{ac} }[/math]

이다.

즉, 등차중항은 양쪽 두 수의 합과 관련되고, 등비중항은 양쪽 두 수의 곱과 관련된다.

7. 주의할 점#

• [math]\displaystyle{ \frac{b}{a}=\frac{c}{b} }[/math]에서 공비는 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 아니라 [math]\displaystyle{ r }[/math]이다.
• 비를 이용한 증명에서는 분모가 되는 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ b }[/math]가 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]이 아니어야 한다.
• [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]에서 제곱근을 구하면 일반적으로 [math]\displaystyle{ b=\pm\sqrt{ac} }[/math]이다.
• 모든 수가 양수라고 주어진 경우에는 [math]\displaystyle{ b=\sqrt{ac} }[/math]만 사용한다.
• 실수 범위에서 등비중항이 존재하려면 [math]\displaystyle{ ac\ge0 }[/math]이어야 한다.
• [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]가 성립하더라도 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]이 포함된 특별한 경우에는 세 수가 실제로 등비수열을 이루는지 별도로 확인해야 한다.

8. 같이 보기#

• 등비수열
• 공비
• 기하평균
• 등차중항
• 산술평균
• 수열