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<big><big>'''<math>b^2=ac</math>'''</big></big> | <big><big>'''<math>b^2=ac</math>'''</big></big> | ||
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'''등비중항'''은 세 수가 차례로 [[등비수열]]을 이룰 때 가운데에 놓인 수를 말한다. 세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등비수열을 이루면 다음 관계가 성립한다. | |||
:<math>\boxed{b^2=ac}</math> | |||
==같이 | 즉, 가운데 수 <math>b</math>의 제곱은 양쪽 두 수 <math>a</math>와 <math>c</math>의 곱과 같다. | ||
== 정의 == | |||
세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 이 순서대로 등비수열을 이룬다고 하자. | |||
이때 가운데에 있는 수 <math>b</math>를 <math>a</math>와 <math>c</math>의 '''등비중항'''이라고 한다. | |||
세 수가 등비수열을 이루므로 일정한 수 <math>r</math>에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. | |||
:<math>b=ar</math> | |||
:<math>c=ar^2</math> | |||
여기서 <math>r</math>은 이 등비수열의 [[공비]]이다. | |||
== 기본 성질 == | |||
세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등비수열을 이루면 다음 식이 성립한다. | |||
:<math>b^2=ac</math> | |||
따라서 양쪽의 두 수 <math>a</math>, <math>c</math>를 알고 있다면 등비중항 <math>b</math>는 다음 식을 만족한다. | |||
:<math>b=\pm\sqrt{ac}</math> | |||
다만 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>를 양수로 제한하는 경우에는 양의 값만 사용하므로 다음과 같다. | |||
:<math>b=\sqrt{ac}</math> | |||
이때 <math>\sqrt{ac}</math>를 두 양수 <math>a</math>와 <math>c</math>의 [[기하평균]]이라고 한다. | |||
== 증명 == | |||
=== 공비를 이용한 증명 === | |||
세 수 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등비수열을 이룬다고 하자. | |||
공비를 <math>r</math>이라고 하면 | |||
:<math>b=ar</math> | |||
이고, | |||
:<math>c=br=ar^2</math> | |||
이다. | |||
이제 <math>b</math>를 제곱하면 | |||
:<math>b^2=(ar)^2=a^2r^2</math> | |||
이다. | |||
한편 <math>a</math>와 <math>c</math>를 곱하면 | |||
:<math>ac=a\cdot ar^2=a^2r^2</math> | |||
이다. | |||
따라서 | |||
:<math>b^2=ac</math> | |||
가 성립한다. | |||
=== 비의 성질을 이용한 증명 === | |||
<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>가 차례로 등비수열이고 각 분모가 <math>0</math>이 아니라고 하자. | |||
등비수열에서는 이웃한 두 항의 비가 일정하므로 | |||
:<math>\frac{b}{a}=\frac{c}{b}</math> | |||
이다. | |||
양변에 <math>ab</math>를 곱하면 | |||
:<math>ab\cdot\frac{b}{a}=ab\cdot\frac{c}{b}</math> | |||
이고, 이를 정리하면 | |||
:<math>b^2=ac</math> | |||
를 얻는다. | |||
이 증명은 나눗셈을 사용하므로 <math>a\ne0</math>, <math>b\ne0</math>인 경우에 사용할 수 있다. <math>0</math>이 포함된 경우까지 다루려면 공비를 이용한 증명이 더 적절하다. | |||
== 예제 == | |||
=== 예제 1 === | |||
세 수 <math>2</math>, <math>6</math>, <math>18</math>은 차례로 등비수열을 이룬다. | |||
공비는 | |||
:<math>\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=3</math> | |||
이다. | |||
가운데 수의 제곱과 양쪽 두 수의 곱을 각각 계산하면 | |||
:<math>6^2=36</math> | |||
이고, | |||
:<math>2\cdot18=36</math> | |||
이다. | |||
따라서 | |||
:<math>6^2=2\cdot18</math> | |||
이 성립한다. | |||
=== 예제 2 === | |||
<math>3</math>과 <math>12</math> 사이에 양의 등비중항 <math>x</math>를 넣는다고 하자. | |||
그러면 | |||
:<math>3,\ x,\ 12</math> | |||
가 차례로 등비수열을 이루므로 | |||
:<math>x^2=3\cdot12</math> | |||
이다. | |||
따라서 | |||
:<math>x^2=36</math> | |||
이고, 양의 등비중항을 구하는 것이므로 | |||
:<math>x=6</math> | |||
이다. | |||
실제로 | |||
:<math>\frac{6}{3}=\frac{12}{6}=2</math> | |||
이므로 <math>3</math>, <math>6</math>, <math>12</math>는 공비가 <math>2</math>인 등비수열이다. | |||
=== 예제 3 === | |||
세 수 <math>4</math>, <math>x</math>, <math>25</math>가 차례로 등비수열을 이룬다고 하자. | |||
등비중항의 성질에 따라 | |||
:<math>x^2=4\cdot25=100</math> | |||
이다. | |||
따라서 | |||
:<math>x=\pm10</math> | |||
이다. | |||
실제로 다음 두 수열은 모두 등비수열이다. | |||
:<math>4,\ 10,\ 25</math> | |||
이 수열의 공비는 <math>\frac{5}{2}</math>이다. | |||
:<math>4,\ -10,\ 25</math> | |||
이 수열의 공비는 <math>-\frac{5}{2}</math>이다. | |||
따라서 실수 전체에서 생각하면 등비중항은 두 개가 될 수 있다. 그러나 양의 등비중항만을 구하는 문제에서는 <math>10</math>만 답으로 사용한다. | |||
== 등비중항을 구하는 방법 == | |||
두 수 <math>a</math>, <math>c</math> 사이에 등비중항 <math>b</math>를 넣으려면 다음 순서로 계산한다. | |||
# 등비중항의 성질 <math>b^2=ac</math>를 세운다. | |||
# 양쪽 두 수를 곱하여 <math>b^2</math>의 값을 구한다. | |||
# 제곱근을 구하여 <math>b</math>의 값을 결정한다. | |||
# 문제에서 양수만 요구하는지 확인한다. | |||
예를 들어 <math>8</math>과 <math>18</math>의 양의 등비중항을 구하면 | |||
:<math>b^2=8\cdot18=144</math> | |||
이므로 | |||
:<math>b=\sqrt{144}=12</math> | |||
이다. | |||
== 등차중항과의 비교 == | |||
등비중항은 [[등차중항]]과 형태가 다르다. | |||
등차수열 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>에서는 가운데 수의 두 배가 양쪽 두 수의 합과 같다. | |||
:<math>2b=a+c</math> | |||
따라서 등차중항은 | |||
:<math>b=\frac{a+c}{2}</math> | |||
이다. | |||
반면 등비수열 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>에서는 가운데 수의 제곱이 양쪽 두 수의 곱과 같다. | |||
:<math>b^2=ac</math> | |||
양수인 경우의 등비중항은 | |||
:<math>b=\sqrt{ac}</math> | |||
이다. | |||
즉, 등차중항은 양쪽 두 수의 '''합'''과 관련되고, 등비중항은 양쪽 두 수의 '''곱'''과 관련된다. | |||
== 주의할 점 == | |||
* <math>\frac{b}{a}=\frac{c}{b}</math>에서 공비는 <math>a</math>가 아니라 <math>r</math>이다. | |||
* 비를 이용한 증명에서는 분모가 되는 <math>a</math>와 <math>b</math>가 <math>0</math>이 아니어야 한다. | |||
* <math>b^2=ac</math>에서 제곱근을 구하면 일반적으로 <math>b=\pm\sqrt{ac}</math>이다. | |||
* 모든 수가 양수라고 주어진 경우에는 <math>b=\sqrt{ac}</math>만 사용한다. | |||
* 실수 범위에서 등비중항이 존재하려면 <math>ac\ge0</math>이어야 한다. | |||
* <math>b^2=ac</math>가 성립하더라도 <math>0</math>이 포함된 특별한 경우에는 세 수가 실제로 등비수열을 이루는지 별도로 확인해야 한다. | |||
== 같이 보기 == | |||
* [[등비수열]] | |||
* [[공비]] | |||
* [[기하평균]] | |||
* [[등차중항]] | * [[등차중항]] | ||
* [[산술평균]] | |||
* [[수열]] | |||
[[분류:수열]] | |||
[[분류:등비수열]] | |||
[[분류:평균]] | |||
2026년 7월 31일 (금) 14:45 기준 최신판
| 수열의 중앙 | |
| 등차중항 | 등비중항 |
[math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]
등비중항은 세 수가 차례로 등비수열을 이룰 때 가운데에 놓인 수를 말한다. 세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등비수열을 이루면 다음 관계가 성립한다.
- [math]\displaystyle{ \boxed{b^2=ac} }[/math]
즉, 가운데 수 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 제곱은 양쪽 두 수 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 곱과 같다.
정의[편집 / 원본 편집]
세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 이 순서대로 등비수열을 이룬다고 하자.
이때 가운데에 있는 수 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 등비중항이라고 한다.
세 수가 등비수열을 이루므로 일정한 수 [math]\displaystyle{ r }[/math]에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
- [math]\displaystyle{ b=ar }[/math]
- [math]\displaystyle{ c=ar^2 }[/math]
여기서 [math]\displaystyle{ r }[/math]은 이 등비수열의 공비이다.
기본 성질[편집 / 원본 편집]
세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등비수열을 이루면 다음 식이 성립한다.
- [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]
따라서 양쪽의 두 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]를 알고 있다면 등비중항 [math]\displaystyle{ b }[/math]는 다음 식을 만족한다.
- [math]\displaystyle{ b=\pm\sqrt{ac} }[/math]
다만 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]를 양수로 제한하는 경우에는 양의 값만 사용하므로 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ b=\sqrt{ac} }[/math]
이때 [math]\displaystyle{ \sqrt{ac} }[/math]를 두 양수 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 기하평균이라고 한다.
증명[편집 / 원본 편집]
공비를 이용한 증명[편집 / 원본 편집]
세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등비수열을 이룬다고 하자.
공비를 [math]\displaystyle{ r }[/math]이라고 하면
- [math]\displaystyle{ b=ar }[/math]
이고,
- [math]\displaystyle{ c=br=ar^2 }[/math]
이다.
이제 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 제곱하면
- [math]\displaystyle{ b^2=(ar)^2=a^2r^2 }[/math]
이다.
한편 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]를 곱하면
- [math]\displaystyle{ ac=a\cdot ar^2=a^2r^2 }[/math]
이다.
따라서
- [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]
가 성립한다.
비의 성질을 이용한 증명[편집 / 원본 편집]
[math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등비수열이고 각 분모가 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]이 아니라고 하자.
등비수열에서는 이웃한 두 항의 비가 일정하므로
- [math]\displaystyle{ \frac{b}{a}=\frac{c}{b} }[/math]
이다.
양변에 [math]\displaystyle{ ab }[/math]를 곱하면
- [math]\displaystyle{ ab\cdot\frac{b}{a}=ab\cdot\frac{c}{b} }[/math]
이고, 이를 정리하면
- [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]
를 얻는다.
이 증명은 나눗셈을 사용하므로 [math]\displaystyle{ a\ne0 }[/math], [math]\displaystyle{ b\ne0 }[/math]인 경우에 사용할 수 있다. [math]\displaystyle{ 0 }[/math]이 포함된 경우까지 다루려면 공비를 이용한 증명이 더 적절하다.
예제[편집 / 원본 편집]
예제 1[편집 / 원본 편집]
세 수 [math]\displaystyle{ 2 }[/math], [math]\displaystyle{ 6 }[/math], [math]\displaystyle{ 18 }[/math]은 차례로 등비수열을 이룬다.
공비는
- [math]\displaystyle{ \frac{6}{2}=\frac{18}{6}=3 }[/math]
이다.
가운데 수의 제곱과 양쪽 두 수의 곱을 각각 계산하면
- [math]\displaystyle{ 6^2=36 }[/math]
이고,
- [math]\displaystyle{ 2\cdot18=36 }[/math]
이다.
따라서
- [math]\displaystyle{ 6^2=2\cdot18 }[/math]
이 성립한다.
예제 2[편집 / 원본 편집]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]과 [math]\displaystyle{ 12 }[/math] 사이에 양의 등비중항 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 넣는다고 하자.
그러면
- [math]\displaystyle{ 3,\ x,\ 12 }[/math]
가 차례로 등비수열을 이루므로
- [math]\displaystyle{ x^2=3\cdot12 }[/math]
이다.
따라서
- [math]\displaystyle{ x^2=36 }[/math]
이고, 양의 등비중항을 구하는 것이므로
- [math]\displaystyle{ x=6 }[/math]
이다.
실제로
- [math]\displaystyle{ \frac{6}{3}=\frac{12}{6}=2 }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ 3 }[/math], [math]\displaystyle{ 6 }[/math], [math]\displaystyle{ 12 }[/math]는 공비가 [math]\displaystyle{ 2 }[/math]인 등비수열이다.
예제 3[편집 / 원본 편집]
세 수 [math]\displaystyle{ 4 }[/math], [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ 25 }[/math]가 차례로 등비수열을 이룬다고 하자.
등비중항의 성질에 따라
- [math]\displaystyle{ x^2=4\cdot25=100 }[/math]
이다.
따라서
- [math]\displaystyle{ x=\pm10 }[/math]
이다.
실제로 다음 두 수열은 모두 등비수열이다.
- [math]\displaystyle{ 4,\ 10,\ 25 }[/math]
이 수열의 공비는 [math]\displaystyle{ \frac{5}{2} }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ 4,\ -10,\ 25 }[/math]
이 수열의 공비는 [math]\displaystyle{ -\frac{5}{2} }[/math]이다.
따라서 실수 전체에서 생각하면 등비중항은 두 개가 될 수 있다. 그러나 양의 등비중항만을 구하는 문제에서는 [math]\displaystyle{ 10 }[/math]만 답으로 사용한다.
등비중항을 구하는 방법[편집 / 원본 편집]
두 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math] 사이에 등비중항 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 넣으려면 다음 순서로 계산한다.
- 등비중항의 성질 [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]를 세운다.
- 양쪽 두 수를 곱하여 [math]\displaystyle{ b^2 }[/math]의 값을 구한다.
- 제곱근을 구하여 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 값을 결정한다.
- 문제에서 양수만 요구하는지 확인한다.
예를 들어 [math]\displaystyle{ 8 }[/math]과 [math]\displaystyle{ 18 }[/math]의 양의 등비중항을 구하면
- [math]\displaystyle{ b^2=8\cdot18=144 }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ b=\sqrt{144}=12 }[/math]
이다.
등차중항과의 비교[편집 / 원본 편집]
등비중항은 등차중항과 형태가 다르다.
등차수열 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]에서는 가운데 수의 두 배가 양쪽 두 수의 합과 같다.
- [math]\displaystyle{ 2b=a+c }[/math]
따라서 등차중항은
- [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]
이다.
반면 등비수열 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]에서는 가운데 수의 제곱이 양쪽 두 수의 곱과 같다.
- [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]
양수인 경우의 등비중항은
- [math]\displaystyle{ b=\sqrt{ac} }[/math]
이다.
즉, 등차중항은 양쪽 두 수의 합과 관련되고, 등비중항은 양쪽 두 수의 곱과 관련된다.
주의할 점[편집 / 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ \frac{b}{a}=\frac{c}{b} }[/math]에서 공비는 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 아니라 [math]\displaystyle{ r }[/math]이다.
- 비를 이용한 증명에서는 분모가 되는 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ b }[/math]가 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]이 아니어야 한다.
- [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]에서 제곱근을 구하면 일반적으로 [math]\displaystyle{ b=\pm\sqrt{ac} }[/math]이다.
- 모든 수가 양수라고 주어진 경우에는 [math]\displaystyle{ b=\sqrt{ac} }[/math]만 사용한다.
- 실수 범위에서 등비중항이 존재하려면 [math]\displaystyle{ ac\ge0 }[/math]이어야 한다.
- [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math]가 성립하더라도 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]이 포함된 특별한 경우에는 세 수가 실제로 등비수열을 이루는지 별도로 확인해야 한다.