| 수열의 중앙 | |
| 등차중항 | 등비중항 |
[math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]
등차중항은 세 수가 차례로 등차수열을 이룰 때 가운데에 놓인 수를 말한다.
세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 이 순서대로 등차수열을 이루면 다음 관계가 성립한다.
- [math]\displaystyle{ \boxed{2b=a+c} }[/math]
따라서 가운데 수 [math]\displaystyle{ b }[/math]는 양쪽 두 수 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 평균과 같다.
- [math]\displaystyle{ \boxed{b=\frac{a+c}{2}} }[/math]
정의
세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 이 순서대로 등차수열을 이룬다고 하자.
이때 가운데에 있는 수 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 등차중항이라고 한다.
등차수열에서는 이웃한 두 항의 차가 일정하므로 다음 식이 성립한다.
- [math]\displaystyle{ b-a=c-b }[/math]
이 식을 정리하면 등차중항의 기본 성질을 얻는다.
- [math]\displaystyle{ 2b=a+c }[/math]
따라서
- [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]
이다.
즉, 등차중항은 양쪽 두 수의 산술평균이다.
기본 성질
세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등차수열을 이루면 다음 식들이 모두 성립한다.
- [math]\displaystyle{ b-a=c-b }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2b=a+c }[/math]
- [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]
이 세 식은 서로 같은 내용을 서로 다른 형태로 나타낸 것이다.
- [math]\displaystyle{ b-a=c-b }[/math]는 이웃한 두 항의 차가 같다는 뜻이다.
- [math]\displaystyle{ 2b=a+c }[/math]는 가운데 수의 두 배가 양쪽 두 수의 합과 같다는 뜻이다.
- [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]는 가운데 수가 양쪽 두 수의 산술평균이라는 뜻이다.
증명
공차를 이용한 증명
세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등차수열을 이룬다고 하자.
이 등차수열의 공차를 [math]\displaystyle{ d }[/math]라고 하면
- [math]\displaystyle{ b=a+d }[/math]
이고,
- [math]\displaystyle{ c=a+2d }[/math]
이다.
이제 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 합을 계산하면
- [math]\displaystyle{ a+c=a+(a+2d)=2a+2d }[/math]
이다.
한편 [math]\displaystyle{ b=a+d }[/math]이므로
- [math]\displaystyle{ 2b=2(a+d)=2a+2d }[/math]
이다.
따라서
- [math]\displaystyle{ 2b=a+c }[/math]
가 성립한다.
양변을 [math]\displaystyle{ 2 }[/math]로 나누면
- [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]
를 얻는다.
이웃한 항의 차를 이용한 증명
세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등차수열을 이루면 이웃한 두 항의 차가 같다.
따라서
- [math]\displaystyle{ b-a=c-b }[/math]
이다.
양변에 [math]\displaystyle{ a+b }[/math]를 더하면
- [math]\displaystyle{ 2b=a+c }[/math]
가 된다.
양변을 [math]\displaystyle{ 2 }[/math]로 나누면
- [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]
이다.
따라서 등차중항은 양쪽 두 수의 산술평균과 같다.
역도 성립함
세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]에 대하여
- [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]
가 성립한다고 하자.
양변에 [math]\displaystyle{ 2 }[/math]를 곱하면
- [math]\displaystyle{ 2b=a+c }[/math]
이다.
이 식을 정리하면
- [math]\displaystyle{ b-a=c-b }[/math]
를 얻는다.
따라서 [math]\displaystyle{ a }[/math]에서 [math]\displaystyle{ b }[/math]로 증가한 양과 [math]\displaystyle{ b }[/math]에서 [math]\displaystyle{ c }[/math]로 증가한 양이 같다. 그러므로 세 수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]는 차례로 등차수열을 이룬다.
따라서 다음 두 명제는 서로 동치이다.
- [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]가 차례로 등차수열을 이룬다.
- [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]가 성립한다.
등차중항을 구하는 방법
두 수 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math] 사이에 등차중항 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 넣으려면 다음 공식을 사용한다.
- [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]
계산 과정은 다음과 같다.
- 양쪽 두 수 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]를 더한다.
- 그 합을 [math]\displaystyle{ 2 }[/math]로 나눈다.
- 계산한 값이 등차중항 [math]\displaystyle{ b }[/math]이다.
- 필요하다면 두 차 [math]\displaystyle{ b-a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c-b }[/math]가 같은지 확인한다.
예제
예제 1
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]과 [math]\displaystyle{ 11 }[/math] 사이에 등차중항 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 넣는다고 하자.
등차중항의 공식에 따라
- [math]\displaystyle{ b=\frac{3+11}{2} }[/math]
이다.
따라서
- [math]\displaystyle{ b=\frac{14}{2}=7 }[/math]
이다.
실제로
- [math]\displaystyle{ 7-3=4 }[/math]
이고,
- [math]\displaystyle{ 11-7=4 }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ 3 }[/math], [math]\displaystyle{ 7 }[/math], [math]\displaystyle{ 11 }[/math]은 공차가 [math]\displaystyle{ 4 }[/math]인 등차수열이다.
예제 2
세 수 [math]\displaystyle{ -5 }[/math], [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ 9 }[/math]가 차례로 등차수열을 이룬다고 하자.
등차중항의 성질을 이용하면
- [math]\displaystyle{ x=\frac{-5+9}{2} }[/math]
이다.
따라서
- [math]\displaystyle{ x=\frac{4}{2}=2 }[/math]
이다.
실제로
- [math]\displaystyle{ 2-(-5)=7 }[/math]
이고,
- [math]\displaystyle{ 9-2=7 }[/math]
이므로 세 수의 공차는 [math]\displaystyle{ 7 }[/math]이다.
예제 3
세 수 [math]\displaystyle{ 2x-1 }[/math], [math]\displaystyle{ 7 }[/math], [math]\displaystyle{ 3x+2 }[/math]가 차례로 등차수열을 이룬다고 하자.
가운데 수의 두 배는 양쪽 두 수의 합과 같으므로
- [math]\displaystyle{ 2\cdot7=(2x-1)+(3x+2) }[/math]
이다.
식을 정리하면
- [math]\displaystyle{ 14=5x+1 }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ 5x=13 }[/math]
이고,
- [math]\displaystyle{ x=\frac{13}{5} }[/math]
이다.
예제 4
[math]\displaystyle{ 4 }[/math], [math]\displaystyle{ 10 }[/math], [math]\displaystyle{ 16 }[/math]이 등차수열인지 확인해 보자.
가운데 수 [math]\displaystyle{ 10 }[/math]과 양쪽 두 수의 평균을 비교하면
- [math]\displaystyle{ \frac{4+16}{2}=\frac{20}{2}=10 }[/math]
이다.
가운데 수가 양쪽 두 수의 평균과 같으므로 [math]\displaystyle{ 4 }[/math], [math]\displaystyle{ 10 }[/math], [math]\displaystyle{ 16 }[/math]은 차례로 등차수열을 이룬다.
수직선에서의 의미
수직선 위에서 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]를 나타내는 두 점을 생각해 보자.
등차중항
- [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math]
는 두 점 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]의 정확한 가운데에 놓인다.
따라서 [math]\displaystyle{ a\le c }[/math]인 경우 다음 두 거리가 같다.
- [math]\displaystyle{ b-a=c-b }[/math]
즉, 등차중항은 수직선에서 양쪽 두 수의 중점에 해당한다.
여러 개의 등차중항
두 수 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math] 사이에 등차중항을 하나가 아니라 여러 개 넣을 수도 있다.
예를 들어 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math] 사이에 세 수를 넣어 전체가 다섯 항인 등차수열을 만든다고 하자.
- [math]\displaystyle{ a,\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ c }[/math]
전체 항의 수가 [math]\displaystyle{ 5 }[/math]이므로 공차 [math]\displaystyle{ d }[/math]는
- [math]\displaystyle{ d=\frac{c-a}{4} }[/math]
이다.
따라서 세 등차중항은 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ x_1=a+d }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_2=a+2d }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_3=a+3d }[/math]
일반적으로 [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math] 사이에 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 등차중항을 넣으면 전체 항의 수는 [math]\displaystyle{ n+2 }[/math]이고, 공차는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ d=\frac{c-a}{n+1} }[/math]
이때 [math]\displaystyle{ k }[/math]번째 등차중항은
- [math]\displaystyle{ x_k=a+kd \qquad (1\le k\le n) }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ x_k=a+\frac{k(c-a)}{n+1} }[/math]
로 나타낼 수 있다.
등비중항과의 비교
등차중항과 등비중항은 모두 세 수로 이루어진 수열의 가운데 항이지만, 사용하는 연산이 다르다.
| 구분 | 등차중항 | 등비중항 |
|---|---|---|
| 수열의 종류 | 등차수열 | 등비수열 |
| 기본 관계 | [math]\displaystyle{ b-a=c-b }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{b}{a}=\frac{c}{b} }[/math] |
| 중항의 성질 | [math]\displaystyle{ 2b=a+c }[/math] | [math]\displaystyle{ b^2=ac }[/math] |
| 중항을 구하는 공식 | [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ b=\pm\sqrt{ac} }[/math] |
| 양수인 경우 | [math]\displaystyle{ b=\frac{a+c}{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ b=\sqrt{ac} }[/math] |
| 관련된 평균 | 산술평균 | 기하평균 |
| 주로 사용하는 연산 | 덧셈과 나눗셈 | 곱셈과 제곱근 |
등차중항은 양쪽 두 수의 합을 이용하여 구하고, 등비중항은 양쪽 두 수의 곱을 이용하여 구한다.
주의할 점
- 등차중항은 양쪽 두 수를 더한 뒤 반드시 [math]\displaystyle{ 2 }[/math]로 나누어야 한다.
- [math]\displaystyle{ \frac{a+c}{2} }[/math]는 [math]\displaystyle{ a+\frac{c}{2} }[/math]와 다르다.
- 음수가 포함되어 있어도 같은 공식을 사용할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ a }[/math]와 [math]\displaystyle{ c }[/math]가 같으면 등차중항도 같은 값이다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ 5 }[/math], [math]\displaystyle{ 5 }[/math], [math]\displaystyle{ 5 }[/math]는 공차가 [math]\displaystyle{ 0 }[/math]인 등차수열이다.
- 세 수가 등차수열인지 확인할 때에는 [math]\displaystyle{ b-a=c-b }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ 2b=a+c }[/math]를 사용할 수 있다.
- 등차중항은 두 실수 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math]에 대하여 항상 하나만 존재한다.